Uurime järgnevas, kas on olemas hulktahukaid, mille tahkudeks on vaid ühte liiki korrapärased võrdsed hulknurgad. Sellised hulktahukad on olnud teadlaste huviobjektiks juba Antiik-Kreekas. Selle aja õpetlane Platon (428–347 eKr) pidas neid maailma ehituselementideks, seostades neid tule, õhu, maa ja veega.
Selliseid hulktahukaid nimetatakse regulaarseteks hulktahukateks.
Regulaarseks hulktahukaks nimetatakse kumerat hulktahukat, mille kõik tahud on võrdsed korrapärased hulknurgad ja mille igast tipust lähtub võrdne arv servi.
Et nimetatud hulktahukate puhul on iga tipu juures võrdsete tasanurkadega mitmetahulised nurgad, siis uurime, milliseid mitmetahulisi nurki on võimalik moodustada üht liiki korrapärastest hulknurkadest.
Ülesanne 726. Mitmetahulised nurgad
- Millist võrratust peab rahuldama suvalise mitmetahulise nurga tasanurkade summa?
- Kas võrdkülgsetest kolmnurkadest saab moodustada
- kolmetahulist nurka?
- neljatahulist nurka?
- viietahulist nurka?
- kuuetahulist nurka?
- seitsmetahulist nurka?
- Kas ruutudest saab moodustada
- kolmetahulist nurka?
- neljatahulist nurka?
- viietahulist nurka?
- Milliseid mitmetahulisi nurki saab moodustada korrapärastest viisnurkadest?
- Kas mitmetahulisi nurki saab moodustada korrapäraste kuusnurkadega?
Ülesandes 726 selgus, et üht liiki võrdsetest korrapärastest hulknurkadest on võimalik moodustada vaid viis erinevat mitmetahulist nurka: korrapäraste kolmnurkadega kolm, korrapäraste nelinurkadega üks ja korrapäraste viisnurkadega üks. Igale sellisele võimalusele vastabki üks kindel regulaarne hulktahukas ehk platooniline keha.
Kumeraid hulktahukaid, mille pind koosneb vaid võrdsetest korrapärastest kolmnurkadest, on kolm:
- tetraeeder – regulaarne nelitahukas (joon. 3,23a);
- oktaeeder – regulaarne kaheksatahukas (joon. 3,23b) ja
- ikosaeeder – regulaarne kakskümmendtahukas (joon. 3.23c).
Hulktahukaid, mille pind koosneb vaid võrdsetest korrapärastest nelinurkadest, on üks:
- heksaeeder ehk kuup – regulaarne kuustahukas (joon. 3.23d).
Samuti on vaid üks keha, mille pind koosneb võrdsetest korrapärastest viisnurkadest:
- dodekaeeder – regulaarne kaksteisttahukas (joon. 3.23e).
Nende kehade nimetused tulevad kreekakeelsetest sõnadest tettares – 4, hex – 6, okto – 8, dodeka – 12, eikosi – 20, hedra – tahk.
Ülesanded B
Ülesanne 727. Regulaarsed hulktahukad
- Ikosaeeder
- Dodekaeeder
- Tetraeeder
- Heksaeeder
- Oktaeeder
Ülesanne 728. Regulaarsed hulktahukad
Regulaarne hulktahukas | Diagonaalide arv |
Tetraeeder | |
Oktaeeder | |
Ikosaeeder | |
Heksaeeder ehk kuup | |
Dodekaeeder |
Ülesanne 729. Regulaarsed hulktahukad
 Joon. 3.24 | ||||||
- Kuidas nimetatakse keha, mille määravad joonisel 3.24 näidatud kuubi tahkude diagonaalid? Põhjendage.
- Leidke nurgad kuubi külgtahkude nende diagonaalide vahel, mis väljuvad kuubi ühest tipust.
Vastus. Need nurgad on °. - Leidke tetraeedri kiivservade vaheline nurk.
Vastus. See nurk on °. - Avaldage tetraeedri pindala ja ruumala kuubi serva a kaudu.
Vastus. S = ; V =
Ülesanne 730. Oktaeeder
Vastus. V =
Ülesanne 731. Regulaarsed hulktahukad
- Kuubi naabertahkude keskpunktid on ühendatud lõikudega. Kuidas nimetatakse keha, mille määravad need lõigud? Põhjendage.
- Leidke nurgad oktaeedri ühest tipust väljuvate servade vahel.
Vastus. Need nurgad on ° ja °. - Millise nurga all lõikuvad oktaeedri diagonaalid?
Vastus. ° all - Avaldage tekkinud hulktahuka pindala ja ruumala kuubi serva a kaudu.
Vastus. S = ; V =
Ülesanne 732. Regulaarsed hulktahukad
 Joon. 3.25 | ||||||
Regulaarsetest hulktahukatest saab neid oskuslikult lõigates valmistada ka selliseid kehi, mille pind koosneb kahest või enamast liigist omavahel võrdsetest hulknurkadest. Selliseid kehi nimetatakse poolregulaarseteks ehk arhimeedilisteks kehadeks.
Ülesanne 733. Poolregulaarsed kehad
 Joon. 3.26 | ||||||
- Kuupoktaeedri tahkudeks on vaid ruudud ja võrdkülgsed kolmnurgad. Kuidas tuleks lõigata kuupi, et saada joonisel 3.26 olev arhimeediline keha – kuupoktaeeder?
- Kui palju on kuupoktaeedril kumbagi liiki tahke?
Vastus. Kuupoktaeedril on ruutu ja võrdkülgset kolmnurka. - Kuidas tuleks lõigata kuupi, et tekiks keha, mille pind koosneb kuuest võrdsest korrapärasest kaheksanurgast ja kaheksast võrdkülgsest kolmnurgast?
- Kuidas lõigata oktaeedrit, et tekiks keha, mille pind koosneb kuuest ruudust ja kaheksast korrapärasest kuusnurgast?
- Milliseid huvitavaid kehi saab veel regulaarsete hulktahukate tippude äralõikamise teel?
Ülesanne 734. Voltimine
Joonisel 3.27 on näidatud, kuidas voltida DIN formaadis paberist (nt A4) korrapärast viisnurka. Tehke kaksteist sellist viisnurka ja seadke neist kokku dodekaeeder, kasutades nende ühendamiseks viisnurkadel olevaid „sabasid” 1.
Ülesanne 735. Regulaarsed hulktahukad
Vastus. Nende lõikudega määratud hulktahukas on . S =
Ülesanne 736. Poolregulaarsed kehad
- ühe kolmandikuga kuubi servast?
Vastus. Keha ruumala väheneb %. - poolega kuubi servast?
Vastus. Keha ruumala väheneb %.
Ülesanne 737. Regulaarsed hulktahukad
Regulaarne hulktahukas | Kahetahuline nurk |
Tetraeeder | |
Heksaeeder ehk kuup | |
Oktaeeder | |
Dodekaeeder | |
Ikosaeeder |
