Окружность, описанная около правильного многоугольника, и окружность, вписанная в правильный многоугольник

Правильный многоугольник, все вершины которого лежат на окруж­ности, называется вписанным в окружность многоугольником. В свою очередь, окружность, проходящая через все вершины правильного многоугольника, называется описанной около многоугольника окружностью. Разделив окружность на нужное число равных частей, можно получить вписанный в круг правильный многоугольник с любым заданным числом сторон. Если дан некоторый правильный многоугольник, то около него всегда можно описать окружность. Центром этой окружности является пересечение серединных перпен­дикуляров к любым двум непараллельным сторонам многоугольника.

Середины сторон правильного многоугольника (точки K, L, М, N и P на рисунке) находятся на одинаковом расстоянии от центра O описанной около многоугольника окружности. Этим расстоянием является длина перпендикуляра, проведенного из точки O к стороне многоугольника (на рисунке эти перпендикуляры изображены пунктирными отрезками).

Если из точки O провести радиусы ко всем вершинам многоугольника, то многоугольник разобьется на равные равнобедренные треугольники. Высоты этих треугольников (построенные перпендикуляры) будут также равны. Поэтому, если мы начертим окружность с центром O, радиус которой равен расстоянию от точки O до сторон многоугольника, то она будет касаться каждой стороны правильного многоугольника. Такая окружность называется вписанной в многоугольник окружностью. Сам многоугольник в этом случае называется описанным около окружности многоугольником. На рисунке для правильного шестиугольника изображены вписанная и описанная окружности.

Радиус описанной окружности обычно обозначают буквой R, а радиус вписанной – буквой r. Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности называют также апофемой многоугольника. Апофема правильного многоугольника есть расстоя­ние от общего центра вписанной и описанной окружностей до стороны многоугольника. Общий центр вписанной и описанной окружностей назы­вается также центром правильного многоугольника.

Долгое время не удавалось решить задачу о том, как с помощью циркуля и линейки построить правильный 7-угольник. В 1796 г. 19-летний Карл Фридрих Гаусс (Carl Friedrich Gauss), впоследствии всемирно известный математик, показал, как с помощью этих инструментов построить правильный 17-угольник. Вслед за этим он доказал, что с помощью циркуля и линейки невозможно построить правильный 7-угольник, а также многоугольники, число вершин которых равно 9, 11, 13, 19, 21 и многие другие. В то же время, такое построение возможно, например, для многоугольников, у которых 34, 51, 96 вершин и т. д. Тем самым молодой математик Гаусс решил проблему, которая стояла перед учеными 2000 лет.

точное построение правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки является чисто теоретической пробле­мой, инте­ресую­щей, в основном, математиков. Существуют различные прибли­женные методы, с помощью которых можно построить тре­буемый много­угольник с достаточной для практических целей точ­ностью.

Один из таких приемов иллюстрирует рисунок, где показано, как построить приближенно сторону пра­вильного 10-угольника (и вообще, n-угольника). Для этого диаметр АВ окружности делят на 10 (в общем случае на n) равных частей и отмечают на нем точку C, которая делит диаметр в отношении 2 : 8 (в общем случае в отношении 2 : (n – 2)). На диаметре AB строят равносторонний треугольник ABD. Прямая, проведенная через точки D и C, пересекает окружность в точке E. Хорда AE является искомой приближенной стороной вписы­ваемого в окружность 10-угольника (в общем случае n-угольника).

Вычисления (с ними ты познакомишься в 9 классе) показывают, что длина стороны полученного 10-уголь­ника a ≈ R · 0,6239…, причем точная длина стороны этого много­угольника выражается числом a = R · 0,6180… Как мы видим, погрешность незначительная.

На следующем рисунке показано точное построение правильного 10-угольника с помощью циркуля и линейки. Середина C радиуса AO является здесь центром окружности, необходимой для проведения дуги $$ \stackrel{⏜}{DE}$$. Стороной вписываемого в заданную окружность 10-угольника является отрезок OE.