Püramiid

Püramiidiks nimetatakse hulk­tahukat, mille üks tahk on kumer hulk­nurk ja üle­jäänud tahud ühise tipuga kolm­nurgad.

Hulk­nurka nimetatakse püramiidi põhjaks ja ühise tipuga kolm­nurki külg­tahkudeks. Kui püramiidi põhjaks on n-nurk, siis nimetatakse püramiidi n-nurkseks püramiidiks. Püramiidi tipu kaugust põhjast ja vastavat rist­lõiku nimetatakse püramiidi kõrguseks (joon. 3.15).

Joon. 3.15

Püramiidil ei ole diagonaale. Kui lõigata püramiidi tasandiga, mis läbib püramiidi tippu ja põhja üht diagonaali, saame püramiidi diagonaal­lõike (joon. 3.16).

Joon. 3.16

Püramiidi nimetatakse korra­päraseks, kui tema põhjaks on korra­pärane hulk­nurk ja püramiidi kõik külg­servad on võrdsed. Korra­pärase püramiidi kõrguse alus­punkt asub põhja ümber­ring­joone kesk­punktis. Korra­pärase püramiidi kõik külg­tahud on võrdsed. Sirget, mis läbib korra­pärase püramiidi tippu ja põhja kesk­punkti, nimetatakse püramiidi teljeks. Korra­pärase püramiidi külg­tahu (tipust tõmmatud) kõrgust nimetatakse püramiidi apoteemiks.

Seotud sisu
Muud tegevused

Püramiidi põhjaga paralleelse lõike omadusi

Lõikame püramiidi põhjaga paralleelse tasandiga. Saame püramiidi põhjaga paralleelse lõike (joon. 3.17a).

TEOREEM 1. Püramiidi põhjaga paralleelne lõige on põhjaga sarnane hulk­nurk.

Joon. 3.17a
Tõestus

Et kaks hulk­nurka oleksid sarnased, peavad nende vastavad nurgad olema võrdsed ja võrdsete nurkade lähis­küljed võrdelised. Nurgad, mille tipud asuvad püramiidi ühel ja samal külg­serval, on võrdsed, sest nende haarad on paralleelsed ja sama­suunalised. Kiirte­teoreemi põhjal aga teame, et nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolm­nurgad ehk sarnased kolm­nurgad. Nii on ΔA1SB1 ~ ΔASB ja ΔB1SC1 ~ ΔBSC ja järelikult

\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{SB_1}{SB} ja \frac{B_1C_1}{BC}=\frac{SB_1}{SB}, millest \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}.

Viimane võrdus ütleb, et ühe paari võrdsete nurkade lähis­küljed on võrdelised. Sama­moodi saame tõestada kõigi võrdsete nurkade lähis­külgede võrdelisuse:

\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{C_1D_1}{CD}=\frac{D_1E_1}{DE}=\frac{E_1F_1}{EF}=\frac{F_1A_1}{FA}. ♦

TEOREEM 2. Püramiidi põhja pindala ja põhjaga paralleelse lõike pindala suhtuvad nagu vastavate püramiidide kõrguste ruudud.

Joon. 3.17b
Tõestus

Joonestame püramiidi kõrguse SO (joon. 3.17b). Olgu lõikega eraldatud püramiidi kõrguse alus­punkt O1. Tähistame püramiidi põhja pindala Sp ja lõike pindala Sl.

Kolm­nurgad SB1O1 ja SBO on sarnased (miks?) ja see­tõttu \frac{SB_1}{SB}=\frac{SO_1}{SO}. Et \frac{SB_1}{SB}=\frac{A_1B_1}{AB} (vt teoreemi 1 tõestust), siis \frac{SO_1}{SO}=\frac{A_1B_1}{AB}. Teame, et sarnaste hulk­nurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud. Järelikult

\frac{S_l}{S_p}=\frac{A_1B_1^2}{AB^2} ehk \frac{S_l}{S_p}=\frac{SO_1^2}{SO^2}. ♦

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 685. Püramiidi diagonaal­lõiked

Ülesanne 686. Püramiid
  • ristkülik
  • romb
  • võrdhaarne trapets
  • täisnurkne trapets
  • rööpkülik
  • kolmnurk
Ülesanne 687. Püramiid
  1. rist­külik?
  2. täis­nurkne kolm­nurk?
  3. korra­pärane kolm­nurk?
Ülesanne 688. Korra­pärane püramiid
  1. Lõigake A4 paberi­lehest välja ruut.
  2. Voltige ruudu 2 diagonaali ja 2 vastas­külgede kesk­punkte ühendavat lõiku (joon. 3.18), kus­juures pärast iga voltimist võtke paber uuesti lahti. Voltige nii, et paberi sama pool jääks alati sisse­poole.
Joon. 3.18
  1. Ühendage õrna volte­joonega ka ruudu lähis­külgede kesk­punktid (joonisel lõigud AC, CE jne.) Nii eralduvad ruudu iga tipu juures võrd­haarsed täis­nurksed kolm­nurgad.
  2. Voltige see­järel tugeva joonega eelmises punktis saadud kolm­nurkade mõlema terav­nurga poolitajad (asetage pool ruudu küljest ehk lõik AK lõigule AC jne). Nii tekib kaheksa­nurk ABC…HA.
  3. Tõestage, et saadud kaheksa­nurk on korra­pärane. Selleks leidke nurgad α ja β.
  4. Lõigake saadud kaheksa­nurk välja, jättes vaid ühe tipu juurde nn saba, millega saab püramiidi külg­pinda hiljem kinnitada. Sama tipu juurest lõigake kaheksa­nurk lahti tipust kuni kesk­punktini.
  1. Nüüd võite saadud kaheksa­nurgast kokku panna korra­pärase kolm­nurkse, neli­nurkse, …, seitse­nurkse püramiidi. Kokku­voldituna (joon. 3.19) on seda pinna­laotust mugav vihiku vahel kaasas kanda.
Joon. 3.19
Ülesanne 689. Korra­pärane kolm­nurkne püramiid

Vastus. h = 

Ülesanne 690. Püramiid

Vastus. h =  cm

Ülesanne 691. Korra­pärane püramiid
  1. kolm­nurkne.
    Vastus. h = 
  2. neli­nurkne.
    Vastus. h = 
  3. kuus­nurkne.
    Vastus. h = 
Ülesanne 692. Püramiidi põhjaga paralleelne lõige

Vastus. See lõige asetseb põhjast  cm kaugusel.

Ülesanne 693. Püramiidi põhjaga paralleelne lõige

Vastus. h =  cm

Ülesanne 694. Püramiidi põhjaga paralleelne lõige

Vastus. Sl =  cm2

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 695. Püramiidi põhjaga paralleelne lõige

Vastus. Püramiidi tuleb lõigata tipust  cm kaugusel oleva põhjaga paralleelse tasandiga.

Ülesanne 696. Püramiidi põhjaga paralleelsed lõiked

Vastus. Põhja poolt alates on nende lõigete pindalad   cm2,  cm2 ja  cm2.

Ülesanne 697. Püramiidi kõrgus

Vastus. h =  cm

Ülesanne 698. Püramiidi külg­servad

Vastus. Püramiidi külg­servad on  cm ja  cm.

Ülesanne 699. Korra­pärane kolm­nurkne püramiid

Vastus. Selle tee lühim pikkus on  ühikut.

Seotud sisu
Muud tegevused