Периметр и площадь правильного многоугольника

Все стороны правильного многоугольника равны между собой. Поэтому для вычисления периметра P такого многоугольника нужно длину его стороны a умножить на число сторон n.

Таким образом:

P = na.

Выясним теперь, как найти площадь правильного многоугольника. Пусть дан некоторый правильный многоугольник, у которого сторона равна a и апофема – r (см. рисунок).

Если многоугольник имеет n сторон, то он разбивается на n равных равнобедренных треугольников (один из них на рисунке закрашен). Площадь каждого из этих треугольников равна $\frac{a r}{2}$ . Площадь S всего многоугольника в n раз больше площади одного треугольника. Следовательно,

$S = n \cdot \frac{a r}{2}$ = $\frac{n a r}{2}$ .

Так как na = P, то мы получаем, что

$S = \frac{P r}{2} .$

Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему.

Пол нужно застелить плитками паркета, имеющими форму правильных шестиугольников. Какова площадь одной такой плитки, если при измерении ее сторона оказалась равной 12,0 см, а апофема 10,4 см?

Дано: a = 12,0 см, r = 10,4 см.

Решение. $S = \frac{P r}{2}$ = $\frac{n a r}{2}$ = $\frac{6 \cdot 12,0 \cdot 10,4}{2}$ = 374,4 (см²).

Ответ: площадь плитки паркета 374 см².

Поскольку полученные при измерении стороны и апофемы числа даны с тремя значащими цифрами, то и ответ округлен здесь до трех значащих цифр.

Lisää aiheesta

Упражнения A

Ответ: P = см; S = см².

1051. GeoGebra

С помощью программы GeoGebra начерти правильный шестиугольник со стороной 3 единицы длины. Проведи апофему шестиугольника и найди ее длину. Вычисли площадь шестиугольника. Проверь ответ с помощью инструмента «Площадь».

1052. GeoGebra

С помощью программы GeoGebra начерти правильный семиугольник, а также его вписанную и описанную окружности. Измерь радиусы полученных окружностей. Найди с помощью той же программы площади полученных фигур.

Ответ: S = см².

Ответ: на покрытие этого пола уйдет не менее плиток.

площадь пятиугольника;
Ответ: S = см².
длину вписанной окружности;
Ответ: C = см.
длину описанной окружности;
Ответ: C = см.
сколько процентов составляет длина вписанной окружности от длины описанной окружности.
Ответ: длина вписанной окружности составляет % от длины описанной окружности.

Lisää aiheesta

Упражнения Б

Указание. Сначала построй правильный 10-угольник (см. 6.8)

Сделай необходимые измерения и вычисли:

площадь пятиугольника;
Ответ: S = см².
площадь описанного круга;
Ответ: S = см².
площадь вписанного круга;
Ответ: S = см².
сколько процентов составляет площадь вписанного круга от площади описанного круга;
Ответ: площадь вписанного круга составляет % от площади описанного круга.
во сколько раз площадь пятиугольника больше площади вписанного круга.
Ответ: площадь пятиугольника в раз(а) больше площади вписанного круга.