Квадратный корень из числа

В задании 3 требовалось по последней цифре числа установить, является ли оно квадратом целого числа. Например, число 61 009 оканчивается цифрой 9 и поэтому оно может быть квадратом числа (оканчивающегося на 3 или на 7). Но так ли это на самом деле и если да, то квадратом какого числа оно является? Возникает вопрос: как найти число по его квадрату?

Нахождение числа по его квадрату можно рассматривать как действие, обратное возведению в квадрат. В простейших случаях ответ можно получить подбором. Например, если квадрат числа равен 25, то в квадрат было возведено либо число 5, либо число –5.

Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление) и возведение в степень были определены так, что результат действия был однозначен. Так же нужно поступить и в случае действия, обратного возведению в квадрат, или нахождения квадратного корня. Поэтому квадратным корнем из числа 25 будем считать только положительное число, квадрат которого равен 25.

Операция нахождения квадратного корня обозначается символом $\sqrt{}$ . Следовательно, $\sqrt{25} = 5$ (читай: квадратный корень из двадцати пяти равен пяти).

Аналогично $\sqrt{36} = 6$ , так как 6² = 36; $\sqrt{0,01} = 0,1$ , так как o,1² = 0,01; $\sqrt{0} = 0$ , так как 0² = 0.

Квадратным корнем из положительного числа a называется такое положительное число, квадрат которого равен данному числу a. Квадратный корень из нуля равен нулю.
В символической записи:
$\sqrt{a} = b$ , если b² = a и a ≥ 0, b ≥ 0.

Число a называется подкоренным числом, a число b, или число $\sqrt{a}$ – квадратным корнем. Выражение найти квадратный корень часто формулируют: извлечь квадратный корень.

Обрати внимание! При решении уравнений нужно действовать по-другому.

Пусть, к примеру, требуется найти корни уравнения x² = 9. Этими корнями являются как x = 3, так и x = –3, то есть $x = \sqrt{9}$ или $x = - \sqrt{9}$ , или $x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$ .

Квадратный корень из отрицательного числа извлечь нельзя, так как в множестве изученных нами чисел не существует числа, квадрат которого был бы отрицательным числом.

Из определения квадратного корня следует, что, например, $\sqrt{5^{2}} = \sqrt{25} = 5$ ; $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = \sqrt{25} = 5$ . Таким образом, квадратный корень из квадрата положительного числа равен самому этому числу, а квадратный корень из квадрата отрицательного числа равен противоположному ему числу. Это значит: $\sqrt{5^{2}} = 5$ ; $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = - (- 5) = 5$ .

Итак,

если a ≥ 0, то $\sqrt{a^{2}} = a$ ;

если a < 0, то $\sqrt{a^{2}} = - a$ .

По определению модуля числа можно записать это одним равенством:

$\sqrt{a^{2}} = |a|$ .

$|a| = \{\begin{cases} a, если a \geq 0 \\ - a, если a < 0 \end{cases}$

Из определения квадратного корня следует, что если $\sqrt{a} = b$ , то ${(\sqrt{a})}^{2} = b^{2} = a$ , или ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ .

Отсюда следует, что любое неотрицательное число а можно рассматривать как квадрат некоторого числа, т. е. $a = {(\sqrt{a})}^{2}$ . К примеру, $37 = {(\sqrt{37})}^{2}$ , $3,7 = {(\sqrt{3,7})}^{2}$ , $\frac{1}{3} = {(\sqrt{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}} = \sqrt{36} = 6$ ;
$\sqrt{{(- 6)}^{2}} = \sqrt{36} = 6$ ;
$\sqrt{0^{2}} = \sqrt{0} = 0$ .
${(- \sqrt{4})}^{2} = {(\sqrt{4})}^{2} = 4$ ;
$- {(\sqrt{9})}^{2} = - 9$ .
$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$ , так как ${(\frac{2}{5})}^{2} = \frac{4}{25}$ ;
$\sqrt{2 \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$ , так как ${(1 \frac{1}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$ .

Lisää aiheesta

Упражнения A

Какое число называется квадратным корнем из числа 81?
Какое число называется квадратным корнем из данного положительного числа?
Почему нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа?

$\sqrt{16}$ =

$\sqrt{64}$ =

$\sqrt{81}$ =

$\sqrt{1}$ =

$\sqrt{-100}$ =

$\sqrt{121}$ =

$\sqrt{10 000}$ =

$\sqrt{0}$ =

$\sqrt{0,36}$ =

$\sqrt{0,64}$ =

$\sqrt{0,01}$ =

$\sqrt{1600}$ =

$\sqrt{- \frac{4}{25}}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{\frac{49}{144}}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{\frac{16}{81}}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{34^{2}}$ =

$\sqrt{{(- 6)}^{2}}$ =

$\sqrt{{0,8}^{2}}$ =

$\sqrt{2348^{2}}$ =

$\sqrt{2^{2}}$ =

$\sqrt{674^{2}}$ =

$- \sqrt{539^{2}}$ =

$\sqrt{{(- 536)}^{2}}$ =

$\sqrt{9999^{2}}$ =

$\sqrt{{(- 6)}^{2}}$ =

${(- \sqrt{8})}^{2}$ =

${(- \sqrt{19})}^{2}$ =

$- {(\sqrt{3})}^{2}$ =

${[\sqrt{{(- 3)}^{2}}]}^{2}$ =

${[- {(\sqrt{2})}^{2}]}^{2}$ =

$- \sqrt{{0,2}^{2}}$ =

$- \sqrt{{(- 0,8)}^{2}}$ =

${[- \sqrt{{(- 0,9)}^{2}}]}^{2}$ =

$- {[- \sqrt{{(- 1,4)}^{2}}]}^{2}$ =

$\sqrt{{[- {(- 5,2)}^{2}]}^{2}}$ =

$\sqrt{400} = 20$

$\sqrt{676} = 26$

$\sqrt{841} = 29$

$\sqrt{1296} = 36$

$\sqrt{1764} = 42$

$\sqrt{2209} = 47$

Lisää aiheesta

Упражнения Б

$\sqrt{0,36}$ =

$\sqrt{2,89}$ =

$\sqrt{82,81}$ =

$\sqrt{90,25}$ =

$\sqrt{6,25}$ =

$\sqrt{20,25}$ =

$\sqrt{34,81}$ =

$\sqrt{56,25}$ =

$\sqrt{1 \frac{7}{9}}$ = $\sqrt{\frac{}{}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{3 \frac{1}{16}}$ = $\sqrt{\frac{}{}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{6 \frac{1}{4}}$ = $\sqrt{\frac{}{}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{1 \frac{17}{64}}$ = $\sqrt{\frac{}{}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{1 \frac{9}{16}}$ = $\sqrt{\frac{}{}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{16} + \sqrt{9}$ $\sqrt{16 + 9}$

$\sqrt{169} - \sqrt{25}$ $\sqrt{169 - 25}$

$\sqrt{25} + \sqrt{144}$ $\sqrt{25 + 144}$

$\sqrt{1} + \sqrt{4} + \sqrt{4}$ $\sqrt{1 + 4 + 4}$

Можно ли извлечь квадратный корень из суммы или разности почленно?

$\sqrt{1 \cdot 2 + 0,25}$ =

$\sqrt{2 \cdot 3 + 0,25}$ =

$\sqrt{3 \cdot 4 + 0,25}$ =

$\sqrt{4 \cdot 5 + 0,25}$ =

$\sqrt{}$ =

Kак представить в общем виде с помощью переменной х выражения каждого из столбцов?

$\sqrt{}$ =

$\sqrt{1^{2} + 2 + 1}$ =

$\sqrt{2^{2} + 4 + 1}$ =

$\sqrt{3^{2} + 6 + 1}$ =

$\sqrt{4^{2} + 8 + 1}$ =

$\sqrt{}$ =

Kак представить в общем виде с помощью переменной х выражения каждого из столбцов?

$\sqrt{}$ =

Lisää aiheesta

Edistyminen

	Tehtävät
	Luku on suoritettu

Квадратный корень из числа

Lisää aiheesta

Упражнения A

Lisää aiheesta

Упражнения Б

Lisää aiheesta

Lisää materiaali

Lisättävät tiedostot

Ilmoita virheestä

Ilmoita tänne vain alustaan ja sisältöön liittyvistä virheistä. Pyydämme kuvailemaan virhettä mahdollisimman tarkasti.

Liitä halutessasi mukaan yhteystietosi (sähköpostiosoite, puhelin).

Tee rasti ruutuun, näin autat meitä taistelussa roskapostia vastaan

Opiq käyttää evästeitä