Действия с корнями

В предыдущем параграфе, изучая свойства корней, мы одновременно научились умножать, делить и возводить в степень корни, а также извлекать корень из корня. А как выполняется сложение и вычитание корней?

При сложении и вычитании корней нужно прежде всего записать рассматриваемое выражение, используя знаки требуемых действий. Например:

$4 \sqrt[3]{5} + 3 \sqrt{3}$ ;	$3 \sqrt[4]{3} + 17 \sqrt[4]{3}$ ;
$2 \sqrt[4]{5} + 3 \sqrt[3]{7} - \sqrt{2}$ ;	$7 \sqrt[5]{2} + \sqrt{2} - 3 \sqrt[5]{2}$ .

Выражения, стоящие в первом столбце, не допускают дальнейшего упрощения. В выражениях второго столбца можно выполнить приведение подобных слагаемых:

$3 \sqrt[4]{3} + 17 \sqrt[4]{3}$ = $(3 + 17) \sqrt[4]{3}$ = $20 \sqrt[4]{3}$ ;

$7 \sqrt[5]{2} + \sqrt{2} - 3 \sqrt[5]{2}$ = $4 \sqrt[5]{2} + \sqrt{2}$ .

Выражения, содержащие корни, называются подобными, если они отличаются только коэффициентами перед знаком корня или совпадают.

Например, выражения $3 \sqrt[4]{5 a}$ ; $- \sqrt[4]{5 a}$ и $\frac{3}{4} \cdot \sqrt[4]{5 a}$ подобны, a выражения $\sqrt{5 a}$ ; $\sqrt[3]{5 a}$ и $\sqrt[4]{5 a}$ не являются подобными.

Отметим, что корни часто называют радикалами. Таким образом, рассмотренные выше выражения – это выражения с радикалами.

Сумму выражений с радикалами можно упрощать только в том случае, когда среди ее слагаемых есть подобные члены.

Примеры.

$2 \sqrt[3]{25} + 13 \sqrt{2} - 15 \sqrt[3]{25} - 10 \sqrt{2}$ = $3 \sqrt{2} - 13 \sqrt[3]{25}$
$\sqrt{16} - \sqrt[3]{27} + \sqrt[5]{64} - 3 \sqrt[10]{4}$ = $4 - 3 + 2 \sqrt[5]{2} - 3 \sqrt[5]{2}$ = $1 - \sqrt[5]{2}$
$(\sqrt[3]{2} + 3 \sqrt{2}) (\sqrt{2} - 3 \sqrt[3]{4})$ = $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt[3]{8} + 3 \sqrt{4} - 9 \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4}$ = $\sqrt[6]{2^{2} \cdot 2^{3}} - 6 + 6 - 9 \sqrt[6]{2^{3} \cdot 2^{4}}$ = $\sqrt[6]{2^{5}} (1 - 9 \sqrt[6]{2^{2}})$ = $\sqrt[6]{32} (1 - 9 \sqrt[3]{2})$
${(\sqrt[3]{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$ = $\sqrt[3]{4} - 6 \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{2} + 9 \sqrt{4}$ = $\sqrt[3]{4} - 6 \sqrt[6]{32} + 18$
$\frac{3 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{3}}$ = $\frac{3 \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}} + \frac{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{3}}$ = $3 + \sqrt[3]{7}$

Lisää aiheesta

Упражнения A

Задание 134. Приведение подобных слагаемых

$3 \sqrt[4]{15} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt[4]{15} - 8 \sqrt{3}$ =

7 \sqrt[3]{81} - 15 \sqrt[3]{21} - \sqrt{7} - 10 \sqrt[3]{21}

=

1 + \sqrt{18} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[5]{64} - 2 \sqrt[5]{2}

=

\sqrt{48} + \sqrt[3]{2000} - \sqrt{12} - \sqrt[3]{250}

=

\sqrt[5]{64} - {(\sqrt[10]{2})}^{2} - \sqrt[3]{135} + \sqrt[3]{1080}

=

\sqrt[3]{- 81} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{18} - \sqrt[4]{{(- 2)}^{2}}

=

\sqrt[5]{192} - \sqrt{48} - \sqrt[4]{{(- 3)}^{2}} - 2 \sqrt[5]{- 96}

=

\sqrt[5]{- 486} + \sqrt{245} + \sqrt[5]{{(- 2)}^{6}} + \sqrt{45}

=

Lisää aiheesta

Упражнения Б

Задание 135. Раскрытие скобок

(\sqrt[3]{9} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt[3]{3}

= =

(\sqrt[5]{16} + \sqrt[3]{2}) \cdot \sqrt[5]{2}

= =

(2 + \sqrt[3]{2}) (\sqrt[3]{4} - 1)

= =

(1 - 2 \sqrt[5]{3}) (\sqrt[5]{81} + 6)

= =

(\sqrt[3]{4} - \sqrt{2}) (\sqrt[3]{4} + \sqrt{2})

= =

(3 \sqrt[3]{3} - 4,5 \sqrt{2}) (\sqrt{2} + \sqrt[3]{9})

= =

(3 \sqrt[3]{4} - 2 \sqrt{5}) (3 \sqrt[3]{4} + 2 \sqrt{5})

= =

(2 \sqrt[5]{8} + 3 \sqrt[3]{4}) (2 \sqrt[5]{8} - 3 \sqrt[3]{4})

= =

{(2 \sqrt[3]{9} - 3)}^{2}

= =

{(3 \sqrt[5]{8} - 2)}^{2}

= =

{(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt[3]{4})}^{2}

= =

{(2 \sqrt{2} + 3 \sqrt[3]{4})}^{2}

= =

Задание 136. Упрощение

\frac{\sqrt{\sqrt{3}} + \sqrt[4]{3 \sqrt{2}}}{\sqrt[4]{3}}

=

\frac{\sqrt[3]{\sqrt{18}} - 2 \sqrt[3]{3 \sqrt{2}}}{\sqrt[6]{18}}

=

\frac{{(\sqrt[3]{3 \sqrt{2}})}^{2} + \sqrt[4]{2 \sqrt[3]{2}}}{\sqrt[3]{2}}

=

\frac{{(\sqrt[3]{- 3 \sqrt{2}})}^{2} + \sqrt{2 {(\sqrt[3]{- 2})}^{2}}}{\sqrt[3]{2}}

=

Задание 137.* Упрощение

\sqrt[4]{17 + \sqrt{288}}

= = =

\sqrt[4]{28 - 16 \sqrt{3}}

= = =

Задание 138.* Упрощение

A = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}

A² =

A =

A = \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

A² =

A =

{(a \pm b)}^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

Задание 139.* Доказательство

$\sqrt[3]{5 \sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} - 7} = 2$

Указание

{(a \pm b)}^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

$\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}} = 3$

Указание

{(a \pm b)}^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

Lisää aiheesta

Palvelun tarjoaa Star Cloud OÜ

Rekisteröidy

Edistyminen

	Tehtävät
	Luku on suoritettu

Действия с корнями

Lisää aiheesta

Упражнения A

Задание 134. Приведение подобных слагаемых

Lisää aiheesta

Упражнения Б

Задание 135. Раскрытие скобок

Задание 136. Упрощение

Задание 137.* Упрощение

Задание 138.* Упрощение

Задание 139.* Доказательство

Указание

Указание

Lisää aiheesta

Lisää materiaali

Lisättävät tiedostot

Ilmoita virheestä

Ilmoita tänne vain alustaan ja sisältöön liittyvistä virheistä. Pyydämme kuvailemaan virhettä mahdollisimman tarkasti.

Liitä halutessasi mukaan yhteystietosi (sähköpostiosoite, puhelin).

Tee rasti ruutuun, näin autat meitä taistelussa roskapostia vastaan

Opiq käyttää evästeitä