Синус, косинус и тангенс произвольного угла

Синус, косинус и тангенс острого угла α определяются с помощью прямоугольного треугольника, один из углов которого равен α (рис. 5.13). В этом случае

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c},

\cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c},

\tan\mathrm{\alpha}=\frac{a}{b}.

Рис. 5.13

Поместим прямоугольный треугольник ABC на координатную плоскость так, как показано на рисунке 5.14, и продолжим стороны АС и АВ угла α через точки C(b; 0) и B(b; a).

Рис. 5.14

Рассмотрим теперь вместо прямоугольного треугольника ABC только угол α и точку B(b; a), расположенную на конечной стороне этого угла.

Соотношение \sin\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c}, с помощью которого определяется синус острого угла α, теперь означает, что синус угла α равен отношению ординаты (а) точки В на конечной стороне угла к расстоянию (с) от этой точки до начала координат. Сказанное справедливо и для любой другой точки на конечной стороне угла α. Действительно, выбрав на этой стороне какую-нибудь другую точку E(d; g), мы можем построить прямоугольный треугольник AEF, из которого получим, что \sin\mathrm{\alpha}=\frac{g}{AE}.

Таким образом,

синус острого угла α равен отношению ординаты любой точки, взятой на конечной стороне угла, к расстоянию от этой точки до начала координат.

Совершенно аналогично из соотношения \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c} выводится, что

косинус острого угла α равен отношению абсциссы точки, взятой на конечной стороне угла, к расстоянию от этой точки до начала координат,

а из определяющего тангенс соотношения \tan\mathrm{\alpha}=\frac{a}{b} – что

тангенс острого угла α равен отношению ординаты к абсциссе, вычисленному для любой точки, взятой на конечной стороне угла.

Точку, выбранную на конечной стороне угла, будем в дальнейшем обозначать буквой M, а ее координаты – буквами x и y, т. е. M(x; y). Расстояние от точки M до начала координат O будем обозначать буквой r, т. е. OM = r. Теперь равенства

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{y}{r}, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{x}{r}, \tan\mathrm{\alpha}=\frac{y}{x}

выражают по-новому ранее известные определения синуса, косинуса и тангенса острого угла α.

Пример 1.

Пусть катеты прямоугольного треугольника a = 8 и b = 6. Поместив треугольник в систему координат так, как показано на рисунке 5.14, мы получим, что на конечной стороне угла α расположена точка B(6; 8). Поскольку

r=OB=\sqrt{6^2+8^2}=10, то

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{8}{10}=0,8, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{6}{10}=0,6, \tan\mathrm{\alpha}=\frac{8}{6}\approx1,33.

Так как мы знаем не только острые углы, но и другие виды углов, то возникает вопрос, как определить и для других углов синус, косинус и тангенс. Оказывается, что для этого можно воспользоваться полученными выше новыми формулировками определений синуса, косинуса и тангенса.

Для этого любой угол α нужно расположить на координатной плоскости так, чтобы его вершиной было начало координат О, а его начальная сторона совпадала с положительной частью оси абсцисс (рис. 5.15). 

Рис. 5.15

Теперь получим следующие определения:

синусом угла α называется отношение ординаты произвольной точки, взятой на конечной стороне угла, к расстоянию от этой точки до начала координат, т. е. (рис. 5.15)

sinα=yr;

косинусом угла α называется отношение абсциссы произвольной точки, взятой на конечной стороне угла, к расстоянию от этой точки до начала координат, т. е.

cosα=xr;

тангенсом угла α называется отношение ординаты к абсциссе, вычисленное для произвольной точки, расположенной на конечной стороне угла, т. е.

tanα=yx.

Пример 2.

Пусть на конечной стороне угла α расположена точка M(8; –6). Тогда

r=OM=\sqrt{8^2+\left(-6\right)^2}=10 и

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{-6}{10}=-0,6, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{8}{10}=0,8, \tan\mathrm{\alpha}=\frac{-6}{8}=-0,75.

Из этих новых определений синуса, косинуса и тангенса видно, что sin α и cos α можно найти для любого угла α, а величину tan α можно вычислить только в случаях, когда x ≠ 0, т. е. когда конечная сторона угла не расположена на оси ординат. Другими словами,

значение tan α не существует, если α = (2k + 1)90°, k ∈ Z.

Пусть на конечной стороне угла α выбрана точка M(x; y) (рис. 5.16).

Рис. 5.16

Так как конечные стороны углов α и α + n · 360° (n ∈ Z) совпадают, то sin α и sin (α + n · 360°) равны одному и тому же отношению \frac{y}{r}. Следовательно,

sin (α + n · 360°) = sin α.

Аналогично получим, что

cos (α + n · 360°) = cos α,

tan (α + n · 360°) = tan α.

Пример 3.

Найдем: 1) sin 2205°, 2) cos 1305°, 3) tan (−1740°).

Решение.

  1. sin 2205° = sin (45° + 6 · 360°) = sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}.
  2. cos 1305° = cos (225° + 3 · 360°) = cos 225°. Конечная сторона угла 225° расположена в III четверти и является биссектрисой угла этой четверти. Поэтому у каждой точки, расположенной на этой стороне, координаты являются отрицательными и равными числами. Следовательно, например, точка M(–4; –4) расположена на конечной стороне угла 225° (а также угла 1305°), и мы получим: r=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-4\right)^2}=4\sqrt{2} и cos 1305° = c0s 225° = -4\ :\ 4\sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
  3. Запишем формулу tan (α + n · 360°) = tan α в виде tan α = tan (α + n · 360°). Для отрицательного угла α всегда можно подобрать такое наименьшее натуральное число n, что n ⋅ 360° > 0. В данном случае –1740° + 5 ⋅ 360° = – 1740° + 1800° = 60° и потому
    tan (−1740°) = tan (1800° − 1740°) = tan 60° = ​\sqrt{3}.

Замечание. Данную задачу можно решить и по-другому:
​поскольку –1740° = 60° − 5 · 360°, то в силу формулы tan (α + n · 360°) = tan α получим:
​tan (−1740°) = tan (60° − 5 · 360°) = tan 60° = \sqrt{3}.

Котангенс произвольного угла определяется следующим образом (рис. 5.15):

котангенсом угла α называется отношение абсциссы к ординате, вычисленное для произвольной точки, расположенной на конечной стороне угла, т. е.

cotα=xy.

Нетрудно убедиться (полагая у = 0) в том, что

значение cot α не существует, если α = 2k · 90° = k · 180°, k ∈ Z.

В случае котангенса угла также справедливо равенство

cot (α + n · 360°) = cot α.

Пример 4.

Найдем cot (–1530°).

Поскольку –1530° = 270°– 5 · 360°, то cot (–1530°) = cot (270° – 5 · 360°) = cot 270°.

Конечная сторона угла 270° совпадает с отрицательным направлением оси Оу. Поэтому на этой стороне расположена, например, точка M(0; 1) и мы получим:

cot (–1530°) = cot 270° = \frac{0}{-1} = 0.

Рассмотрим теперь, как зависят знаки значений sin α, cos α, tan α и cot α от того, какой четверти принадлежит угол α. Поскольку \sin\mathrm{\alpha}=\frac{y}{r} и \cos\mathrm{\alpha}=\frac{x}{r}, причем r > 0, то знак sin α зависит только от знака y, а знак cos α – только от знака x.

Следовательно,

в случае углов I и II четвертей sin α > 0,
в случае углов III и IV четвертей sin α < 0,
в случае углов I и IV четвертей cos α > 0,
в случае углов II и III четвертей cos α < 0.

Сказанное схематически изображено на рисунках 5.17 и 5.18.

Рис. 5.17
Рис. 5.18
Рис. 5.19

Из соотношений \tan\mathrm{\alpha}=\frac{y}{x} и \cot\mathrm{\alpha}=\frac{x}{y} следует, что (см. рис. 5.19):

в случае углов I и III четвертей tan α > 0 и cot α > 0,
в случае углов II и IV четвертей tan α < 0 и cot α < 0.

Пример 5.

  1. sin 300° < 0 и cos 300° > 0, так как угол 300° принадлежит IV четверти;
  2. tan 3800° > 0 и cot 3800° > 0, так как угол 3800° = 200° + 10 · 360° принадлежит III четверти.
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Упражнения A

Задание 668. sin α, cos α и tan α

Данная точка

sin α

cos α

tan α

K(3; 4)

L(–4; 3)

M(–5; –12)

Данная точка

sin α

cos α

tan α

N(9; –12)

R(–7; –24)

S(–40; 9)

Данная точка

sin α

cos α

tan α

P(13; 0)

A(0; 5)

E(–4; –2)

Задание 669. Какие величины положительны и какие – отрицательны?
      • sin 743°
      • cos (–400°)
      • sin (–200°)
      • cos 300°
      • sin 185°
      • cos 108°
          • sin 3648°
          • tan 648°
          • cos 3648°
          • tan 500°
          • cos (–100°)
          • tan (–60°)
          Задание 670. Какой четверти принадлежит угол?

          sin α < 0 и cos α < 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          sin α > 0 и tan α > 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          cos α > 0 и tan α > 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          tan α > 0 и sin α < 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          sin α > 0 и cos α < 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          tan α < 0 и cos α < 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV
          Lisää aiheesta
          Muut toiminnot

          Упражнения Б

          Задание 671. Вычисление точных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

          sin 0° = 

          sin 360° = 

          sin (–180°) = 

          cos 45° = 

          cos 270° = 

          cos (–540°) = 

          tan 720° = 

          tan 1620° = 

          tan (–360°) = 

          cot 4320° = 

          cot 3060° = 

          cot (–2160°) = 

          Задание 672. Какой четверти принадлежит угол?

          sin α > 0 и cot α < 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          sin α < 0 и cot α < 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          tan α < 0 и cot α < 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV

          cos α > 0 и cot α > 0?

          • I
          • II
          • III
          • IV
          Lisää aiheesta
          Muut toiminnot