Logaritm­funktsiooni y = ln x tuletis

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Logaritm­funktsioonide tuletist vaatame vaid juhul, kui logaritmi alus on e. Funktsiooni y=\ln x tuletise on

(ln x)'=1x.

Näide 1.

Leiame funktsiooni y=x\cdot\ln x tuletise.

\left(x\cdot\ln x\right)^' = x'\ln x+x\left(\ln x\right)^' = 1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x} = \ln x+1.

Näide 2.

Leiame 1) y=\ln^2x ja 2) y=\ln x^3 tuletise.

  1. \left(\ln^2x\right)^' = \left(\ln x\cdot\ln x\right)^' = \frac{1}{x}\cdot\ln x+\ln x\cdot\frac{1}{x} = \frac{2}{x}\ln x.
  2. Kuna y=\ln x^3=3\ln x, siis y'=3\left(\ln x\right)^'=3\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{x}.
    ​

Näide 3.

Leiame funktsiooni y=\ln x graafiku puutuja võrrandi punktis, kus x=e, ja selle puutuja tõusu­nurga.

Selleks on tarvis teada puute­punkti koordinaate ja puutuja tõusu. Kui x=1, siis y=\ln e=1. Järelikult puute­punkt on P(e;\ 1).

Puutuja kui sirge tõus k=y'\left(e\right)=\frac{1}{e}=e^{-1}\approx0,368. Järelikult on puutuja võrrand y-1=\frac{1}{e}\left(x-e\right) ehk y=\frac{1}{e}\cdot x.

Et k=\tan\mathrm{\alpha}, siis \tan\mathrm{\alpha}\approx0,3679, millest \mathrm{\alpha}\approx20\degree12'.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded

y=-3\ln x
y' = 

y=5\ln x
y' = 

y=\ln x^8
y' = 

y=\ln e^3x^2
y' = 

y=\ln8x
y' = 

y=\ln\sqrt{x}
y' = 

y=\ln\frac{1}{x}
y' = 

y=\ln x^{-5}
y' = 

y=\frac{\ln x-1}{\ln x}
y' = 

y=\frac{\ln x}{x}
y' = 

y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}
y' = 

y=x^3\ln x
y' = 

y=x^2-2\ln x
y' = 

y=x^{-1}+2\ln x
y' = 

Arvutage f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(e\right), kui y=\frac{1}{\ln x}.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) ≈ 

f '(e) = 

Arvutage f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(e\right), kui y=\frac{\ln x}{x^2}.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) ≈ 

f '(e) = 

Arvutage f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(e\right), kui y=x^2-2\ln x.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) = 

f '(e) ≈ 

Vastus. k = , α = , y = 

Lisää aiheesta
Muut toiminnot