Keha ruumala kui integraal

Põhikoolis oleme õppinud arvutama prisma, püramiidi, silindri, koonuse ja kera ruumala, kuigi ruumala valemeid me seal ei tõestanud. Järgnevas vaatleme, kuidas on need ruumala valemid saadud, ja uurime, kuidas on võimalik leida mis tahes keha ruumala.

Paigutame vaadeldava keha koordinaatteljestikku nii, et selle põhi on risti x-teljega ja keha kõrgus asub x-teljel (joon. 3.6). Kui keha kõrgus on h, jääb see keha tasandite x = 0 ja x = h vahele. Jagame keha kõrguse n võrdseks osaks ja joonestame läbi jaotuspunktide põhja tasandiga paralleelsed tasandid. Nii jaotub keha kihtideks. Asendame keha iga kihi meile tuntud ligikaudu ruumvõrdse kehaga, kas näiteks prismaga (joon. 3.6a) või silindriga (joon. 3.6b).

Joon. 3.6a

Joon. 3.6b

Nüüd võime vaadeldava keha ligikaudse ruumala leida (näiteks) prismade ruumalade summana. Analoogilist meetodit kasutasime ka tasandilise kujundi pindala leidmisel paragrahvis 1.8.

Lõikame keha tasandiga, mis on keha alumisest põhjast kaugusel x. Selle lõikepindala S võib vaadelda kui x funktsiooni, sest igale kaugusele x vastab üks S väärtus. Seetõttu tähistame lõike pindala sümboliga S(x). Jooniselt 3.6a nähtub, et S(x) on ühe prisma põhja pindala. Iga prisma kõrgus on \frac{h}{n}, mille tähistame Δx-ga. Järelikult avaldub keha ruumala V ligikaudselt valemiga

V \approx S (x_{1}) Δ x + S (x_{2}) Δ x + \dots + S (x_{n}) Δ x

\sum_{i = 1}^{n} S (x_{i}) Δ x

Mida rohkem ja järjest õhemaid kihte me võtame, seda enam läheneb saadud summa keha ruumalale V ehk V on selle summa piirväärtuseks, kui n → ∞ ehk kui Δx → 0:

$V = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} S (x_{i}) Δ x$ .

Kuid sellise piirväärtusena on peatükis 1.8 defineeritud määratud integraal. Järelikult

$V = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} S (x_{i}) Δ x = \int_{0}^{h} S (x) d x$ .

Seega, kui meil on teada keha kõrgus h ja keha ristlõike pindala S(x) lõikekoha x funktsioonina, siis saame keha ruumala leida valemiga

$V = \int_{0}^{h} S (x) d x$ .

Viimasest valemist järeldub, et kui kahel kehal on võrdsed kõrgused ja samadel kõrgustel asuvate põhjaga paralleelsete lõigete pindalad on võrdsed, siis on nende kehade ruumalad võrdsed ehk need kehad on ruumvõrdsed. Seda lauset tuntakse nn Cavalieri printsiibina. Näiteks silinder ja risttahukas, mille põhjade pindalad on võrdsed ja kõrgused on võrdsed, on ruumvõrdsed (joon. 3.7).

Joon. 3.7

Näide 1.

Remonditöökojas kasutatakse autode paigalseisu fikseerimiseks joonisel 3.8 kujutatud klotse. Mitu sellist klotsi saab valada 1 m³ sulamist?

Nende klotside külgvaade on kõvertrapets, mille üheks haaraks on joon y=\frac{1}{8}x^2. Eestvaade on ristkülik külgedega 2 dm ja \frac{1}{8}x^2\ \mathrm{dm}. Seega on kohal x klotsi ristlõike pindala S\left(x\right)=2\cdot\frac{1}{8}x^2=\frac{1}{4}x^2. Klotsi ruumalaV = \int_0^4S\left(x\right)dx = \int_0^4\frac{1}{4}x^2dx = ${\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}}_{0}^{4}$ = \frac{16}{3}\ \left(\mathrm{dm}^3\right).

Ühest kuupmeetrist ehk 1000 kuupdetsimeetrist saab selliseid klotse teha 1000\ :\frac{16}{3}=187,5\ \mathrm{tükki}.

Vastus. Saab teha 187 klotsi.

Lisää aiheesta

Ülesanded B

Ülesanne 642. Klotside valmistamine

Vastus. Saab teha klotsi.

Ülesanne 643. Prisma ruumala

Vastus. V = cm³

Ülesanne 644. Keha ruumala

Joon. 3.9

Vastus. V =

Ülesanne 645. Veevann

Joon. 3.10

Vastus. Vanni ristlõike pindala on m². See vann mahutab liitrit vett.

Lisää aiheesta

Edistyminen

	Tehtävät
	Luku on suoritettu

Keha ruumala kui integraal

Lisää aiheesta

Ülesanded B

Ülesanne 642. Klotside valmistamine

Ülesanne 643. Prisma ruumala

Ülesanne 644. Keha ruumala

Ülesanne 645. Vee­vann

Lisää aiheesta

Lisää materiaali

Lisättävät tiedostot

Ilmoita virheestä

Ilmoita tänne vain alustaan ja sisältöön liittyvistä virheistä. Pyydämme kuvailemaan virhettä mahdollisimman tarkasti.

Liitä halutessasi mukaan yhteystietosi (sähköpostiosoite, puhelin).

Tee rasti ruutuun, näin autat meitä taistelussa roskapostia vastaan

Opiq käyttää evästeitä

Ülesanne 645. Veevann