Matemaatiline mudel

Näide 1.

Järgnev ülesanne pärineb rahvus­vahelisest PISA testist, millega mõõdetakse 15-aastaste õpilaste oskust matemaatika rakendamise osas. Joonisel 4.2 on kujutatud tühi vee­paak. Paaki hakatakse kallama vett kiirusega 1 liiter sekundis. Kummal järgmistest graafikutest on kujutatud paagis oleva vee­pinna kõrguse muutumist ajas täpsemalt?

Joon. 4.2

Oletame, et need kaks graafikut on kellegi poolt selle ülesande jaoks koostatud. Mõlemal juhul on teljestik õigesti valitud: horisontaal­telg on aja­telg ja vertikaal­telg esitab paagis oleva vee­taseme kõrgust antud aja­hetkel.

Kummalegi teljele pole aga kantud ühikuid. Ilmselt pole graafikute skitseerimiseks läbi viidud täpseid arvutusi. Neid oleks võimalik teha, sest paagi ruumala leidmise jaoks vajalikud andmed on joonisel olemas, samuti on teada vee lisandumise kiirus. Seega võimaldavad antud graafikud vee­nivoo kõrgust kirjeldada vaid ligi­kaudu.

Mõlemal graafikul on arvestatud seda, et vee­paak koosneb kahest osast – koonusest ja silindrist. Kindlasti tõuseb vee kallamise alguses vee­nivoo kõige kiiremini. Kui täidetakse silindri­kujulist osa, siis kerkib vee­pind ühtlase kiirusega. Järelikult sobib vee­pinna kõrguse ligi­kaudseks kujutamiseks graafik B.

Paagi mõõtmeid ja kuju arvestades saaks leida valemid funktsioonidele, mille graafikud vee­nivoo kõrgust esitavad.

Näide 2.

Mattias istus lõbustus­pargi vaate­rattal (joonis 4.3) ja mõõtis iga 20 sekundi järel oma kõrguse h maa­pinnast (vt andmeid tabelist). Vaate­ratas pöörleb ühtlase kiirusega ja teeb täis­ringi 4 minutiga.

Leiame seose aja t ja Mattiase kõrguse h vahel esimese täis­ringi vältel, kui vaate­ratta kõige kõrgem punkt asub maa­pinnast 35 m ja kõige madalam punkt 5 m kaugusel.

Joon. 4.3

Ülesande lahendamiseks läbime järgmised etapid.

1. Ülesandes küsitakse seost aja t ja kõrguse h vahel. See tähendab sellise seose leidmist, mille järgi saaks arvutada Mattiase kõrgust maa­pinnast igal ajahetkel t.
2. Järelikult tuleb koostada valem h arvutamiseks sõltuvalt ajast t. Et valemi liiki määrata, kanname tabeli andmed sobivalt valitud koordinaat­teljestikku (joonis 4.4).

Joon. 4.4

1. Valime sobiva matemaatilise mudeli. Punktide asukohti vaadeldes tundub kõige ots­tarbekam kasutada siinus­funktsiooni, mille graafik on funktsiooni y = sin x graafikust saadav mitmete teisenduste abil. Otsime seda funktsiooni kujul h(t) = A ⋅ sin (Bt – C) + D.
2. Nüüd tuleb otsustada, milliseid teisendusi kajastavad selles valemis parameetrid A, B, C ja D, ning määrata nende arvulised väärtused. Parameeter A kirjeldab kauguse h amplituuti (maksimaalne hälve keskmisest asendist), seega A=\frac{h_{\max}-h_{\min}}{2}=\frac{35-5}{2}=15.
   ​Siinus­funktsiooni jaoks on vaja leida ühele sekundile vastav ratta pöörde­nurk B. Et ratas läbib 240 sekundiga täis­pöörde 2π, siis on ühes sekundis läbitav nurk \frac{2\pi}{240}. Seega B=\frac{2\pi}{240}.
   ​Leiame graafiku horisontaal­nihke C. Jooniselt näeme, et funktsiooni y = sin x graafikuga võrreldes on meie graafik nihkunud t-telje suunas 60 sekundi võrra. Selline nihe vastab pöörde­nurgale C=\frac{\pi}{2}.
   ​Jooniselt näeme veel, et siinus­funktsiooni graafikut on nihutatud ka vertikaalselt 20 ühikut üles. Seega D = 20 ja otsitav valem on
   ​h\left(t\right)=15\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{240}t-\frac{\pi}{2}\right)+20.
3. Nüüd tuleks kontrollida matemaatilise mudeli õigsust. Selleks võiks arvuti abil joonestada tabeli andmetega samasse teljestikku funktsiooni h\left(t\right)=15\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{240}t-\frac{\pi}{2}\right)+20 graafiku.
4. Järgmise sammuna esitame saadud lahendile esi­algsest ülesandest tulenevad kitsendused aja t jaoks: 0 ≤ t ≤ 240.
5. Tuleks veel läbi viia lahendi kontroll esialgse ülesande seisu­kohalt. Seda on kõige lihtsam teha punktis 5 esitatud kahe graafiku võrdlemise teel.
6. Kirjutame ülesande vastuse: otsitav seos vaate­rattal oleva Mattiase kõrguse h ja aja t vahel on h\left(t\right)=15\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{240}t-\frac{\pi}{2}\right)+20, 0 ≤ t ≤ 240. Analoogilist seost oleks edas­pidi ots­tarbekas kasutada iga­suguse ring­joonel toimuva ühtlase liikumise korral.

Näide 3.

Rist­küliku­kujulise katuse­plaadi mõõtmed on 120 cm ja 60 cm. Selle plaadi nurgast murdus ära täis­nurkse kolm­nurga kujuline tükk selliselt, et rist­küliku pikemast küljest jäi alles 90 cm pikkune, lühemast aga 20 cm pikkune osa. Kogu alles­jäänud plaadist soovitakse kahe servadega paralleelse lõike abil saada maksimaalselt suure pindalaga rist­küliku­kujuline plaat. Kuidas tuleks plaati lõigata?

Koostame esmalt ülesande tingimustele vastava joonise ja kanname sellele teada­olevad andmed (joon. 4.5).

Tähistame pärast lõikamist alles­jääva rist­küliku küljed muutujatega x ja y ning avaldame nende kaudu selle rist­küliku pindala

S=x\cdot y.

Joon. 4.5

Pindala võimalikku maksimaalset väärtust otsime selle funktsiooni ekstreemum­kohast. Et pindala­funktsioon sisaldab olemas­oleval kujul kahte muutujat, siis peame ühe neist elimineerima (avaldama teise kaudu).

Avaldame muutuja y muutuja x kaudu. Leiame selleks kolm­nurkade IFD ja JCF küljed ja kasutame nende kolm­nurkade sarnasust.

ID = 60 – y, IF = x – 90, FJ = y – 20 ja JC =120 – x.

Kolm­nurkade sarnasusest saame, et

\frac{60-y}{y-20}=\frac{x-90}{120-x}.

Avaldame võrdest muutuja y ja saame

y=\frac{540-4x}{3}.

Asendame saadud y valemisse S = x · y ja leiame pindala­funktsiooni ekstreemum­koha.

S\left(x\right)=x\cdot\frac{540-4x}{3}=180x-\frac{4}{3}x^2.

Tingimusest S' (x) = 0 saame, et 180-\frac{8}{3}x=0, millest x = 67,5.

Leiame nüüd ka rist­küliku teise külje:

y=\frac{540-270}{3}=90.

Võrreldes saadud x ja y väärtusi ülesande alg­tingimustega, näeme, et olemas­olevast plaadist pole võimalik selliste mõõtmetega rist­külikut lõigata. Seega ülesande traditsiooniline lahendus pakkus meile eluliselt mitte­sobiva lahendi. Matemaatiliselt tähendab see, et tuletise null­koht ei asu muutuja x võimalike väärtuste hulgas (90 ≤ x ≤ 120) ja ekstreemumit tuleb otsida selle hulga ots­punktides, s.o kohtadel x = 120 ja x = 90.

Et S (90) = 5400 ja S (120) = 2400, siis tuleb antud plaat lõigata rist­külikuks mõõtmetega 90 cm ja 60 cm.

Vastus. Plaat tuleks lõigata rist­külikuks mõõtmetega 90 cm ja 60 cm.