Ответ: в сторону соответствующей вершины расположена и ближе к противолежащей стороне – часть каждого отрезка.
Отрезки, построенные в предыдущей задаче (а также их длины), – это медианы треугольника.
Таким образом,
медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
 | ||||||
От латинского слова medius – средний.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую медиану на две части так, что часть, расположенная ближе к вершине, в два раза больше другой части.
Условие. AE и CD – медианы треугольника ABC, пересекающиеся в точке O.
Заключение. AO = 2OE, CO = 2OD и третья медиана проходит через точку O.
 |
||||||
Доказательство. Сделаем дополнительное построение. Начертим четырехугольник DEFG, вершины F и G которого делят пополам соответственно отрезки CO и AO медиан CD и AE. Проследи внимательно ход дальнейших рассуждений.
 |
||||||
- CF = OF и AG = OG – следует из построения четырехугольника.
- FG средняя линия треугольника AOC – по определению средней линии треугольника.
- FG || AC и FG = 0,5AC – свойство средней линии треугольника.
- ED – средняя линия треугольника ABC. Почему?
- ED || AC и ED = 0,5AC. Почему?
- ED = FG и ED || FG – следует из пунктов 3 и 5.
- Четырехугольник DEFG – параллелограмм, т. к. у него две противоположные стороны равны и параллельны (см. теорему 4, § 4.2.
- DO = OF = CF и EO = OG = AG – следует из пункта 1 и свойства диагоналей параллелограмма.
- AO = 2OE и CO = 2OD – следует из пункта 8.
Так же можно показать, что и третья медиана пересекает любую из выбранных медиан в точке, которая делит и третью медиану на две части так, как показано выше. Следовательно, и третья медиана проходит через точку O. ■
Точка пересечения трёх медиан треугольника является центром тяжести треугольника.
 |
||||||
Если треугольник, изготовленный из однородного материала (жести, картона, фанеры) установить в этой точке на вертикально стоящее острие, то треугольник окажется в состоянии равновесия. Проверь это опытным путем.
Упражнения A
 |
||||||||
Постарайся с помощью учебника доказать теорему о свойстве медиан треугольника.
741.3 Перегибание листа бумаги
Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую медиану на две части так, что часть, расположенная ближе к вершине, в два раза больше другой части.
Попробуй убедиться в справедливости теоремы о медианах треугольника с помощью перегибания листа бумаги.
Для этого сначала перегни треугольник вдоль трех медиан, после чего ты увидишь, что линии сгиба пересекаются в одной точке. Далее согни треугольник в точке О вдоль перпендикуляра к одной из медиан (AD). Теперь перегни треугольник по этому перпендикуляру и отметь на медиане образ D´ точки D. Затем перегни треугольник вдоль перпендикуляра к той же медиане, проходящего через точку D´. Если теперь перегнуть треугольник вдоль последнего перпендикуляра, то ты увидишь, что вершина А треугольника совместится с точкой O. Следовательно, отрезки AD´, D´O и OD равны между собой, т. е. точка O пересечения медиан делит медиану AD в отношении 2 : 1.
Чтобы найти перпендикуляр к прямой, сложи сначала лист бумаги вдоль данной прямой. После этого перегни линию сгиба на себя.
741.4 GeoGebra
Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую медиану на две части так, что часть, расположенная ближе к вершине, в два раза больше другой части.
Построй чертеж также с помощью программы GeoGebra и проиллюстрируй свойство медиан треугольника.
 | ||||||
Сформулируй для каждого из данных треугольников свойство медиан.
Сравни на глаз медианы треугольников с проведенными из тех же вершин высотами и биссектрисами углов.
Сформулируй для каждого из данных треугольников свойство медиан.
Сравни на глаз медианы треугольников с проведенными из тех же вершин высотами и биссектрисами углов.
Медиана треугольника | 6 см | 15 см | 9 дм | 1,2 м | 4,5 дм | 48 мм |
Часть, ближайшая к стороне | см | см | дм | м | дм | мм |
Часть, ближайшая к вершине | см | см | дм | м | дм | мм |
- 24 см и 21 см
Ответ: соответственно см и см, а также см и см. - 3 дм и 1,8 дм
Ответ: соответственно дм и дм, а также дм и дм. - 5,94 м и 7,11 м
Ответ: соответственно м и м, а также м и м.
Ответ: медианы равностороннего треугольника пересекаются под углами ° и °.
Ответ: острые углы прямоугольного треугольника равны ° и °.
Ответ: эта медиана образует с основанием угол в °.
Упражнения Б
 |
||||||||
- площадь треугольника ABO;
SABO = см2 - площадь фигуры ACBO.
SACBO = см2
 «Площадь» | |||||
- Начерти с помощью программы GeoGebra треугольник и одну из его медиан. Обозначь оба полученных треугольника. С помощью инструмента «Площадь» найди площади обоих треугольников.
Что можно заметить? Измени величину треугольника, передвигая его вершины, и убедись, что полученная закономерность справедлива для любого треугольника. Обоснуй полученный результат.
 | ||||||
- Начерти две другие медианы треугольника. Каким свойством обладают площади шести полученных треугольников?
Ответ: S = см2.
Ответ: площадь треугольника KBM составляет % от площади треугольника KLM.
Ответ: S = см2.
