Все стороны правильного многоугольника равны между собой. Поэтому для вычисления периметра P такого многоугольника нужно длину его стороны a умножить на число сторон n.
Таким образом:
P = na.
Выясним теперь, как найти площадь правильного многоугольника. Пусть дан некоторый правильный многоугольник, у которого сторона равна a и апофема – r (см. рисунок).
 | ||||||||
Если многоугольник имеет n сторон, то он разбивается на n равных равнобедренных треугольников (один из них на рисунке закрашен). Площадь каждого из этих треугольников равна . Площадь S всего многоугольника в n раз больше площади одного треугольника. Следовательно,
= .
Так как na = P, то мы получаем, что
Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему.
 |
||||||||
Пол нужно застелить плитками паркета, имеющими форму правильных шестиугольников. Какова площадь одной такой плитки, если при измерении ее сторона оказалась равной 12,0 см, а апофема 10,4 см?
Дано: a = 12,0 см, r = 10,4 см.
Решение. = = = 374,4 (см2).
Ответ: площадь плитки паркета 374 см2.
Поскольку полученные при измерении стороны и апофемы числа даны с тремя значащими цифрами, то и ответ округлен здесь до трех значащих цифр.
Упражнения A
 |
||||||||
Ответ: P = см; S = см2.
1051. GeoGebra
С помощью программы GeoGebra начерти правильный шестиугольник со стороной 3 единицы длины. Проведи апофему шестиугольника и найди ее длину. Вычисли площадь шестиугольника. Проверь ответ с помощью инструмента «Площадь».
1052. GeoGebra
С помощью программы GeoGebra начерти правильный семиугольник, а также его вписанную и описанную окружности. Измерь радиусы полученных окружностей. Найди с помощью той же программы площади полученных фигур.
Ответ: S = см2.
Ответ: S = см2.
Ответ: на покрытие этого пола уйдет не менее плиток.
- площадь пятиугольника;
Ответ: S = см2. - длину вписанной окружности;
Ответ: C = см. - длину описанной окружности;
Ответ: C = см. - сколько процентов составляет длина вписанной окружности от длины описанной окружности.
Ответ: длина вписанной окружности составляет % от длины описанной окружности.
Упражнения Б
 |
||||||||
Указание. Сначала построй правильный 10-угольник (см. 6.8)
Сделай необходимые измерения и вычисли:
- площадь пятиугольника;
Ответ: S = см2. - площадь описанного круга;
Ответ: S = см2. - площадь вписанного круга;
Ответ: S = см2. - сколько процентов составляет площадь вписанного круга от площади описанного круга;
Ответ: площадь вписанного круга составляет % от площади описанного круга. - во сколько раз площадь пятиугольника больше площади вписанного круга.
Ответ: площадь пятиугольника в раз(а) больше площади вписанного круга.
Ответ: площадь боковой поверхности коробки равна см2, а объем коробки – см3.
Какова будет масса бруса, если плотность древесины ?
Ответ: площадь сечения бруса будет см2, а объем бруса – м3. Масса бруса будет кг.
