Квадратный корень из числа

В задании 3 требовалось по последней цифре числа установить, является ли оно квадратом целого числа. Например, число 61 009 оканчивается цифрой 9 и поэтому оно может быть квадратом числа (оканчивающегося на 3 или на 7). Но так ли это на самом деле и если да, то квадратом какого числа оно является? Возникает вопрос: как найти число по его квадрату?

Нахождение числа по его квадрату можно рассматривать как действие, обратное возведению в квадрат. В простейших случаях ответ можно получить подбором. Например, если квадрат числа равен 25, то в квадрат было возведено либо число 5, либо число –5.

Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление) и возведение в степень были определены так, что результат действия был однозначен. Так же нужно поступить и в случае действия, обратного возведению в квадрат, или нахождения квадратного корня. Поэтому квадратным корнем из числа 25 будем считать только положительное число, квадрат которого равен 25.

Операция нахождения квадратного корня обозначается символом $\sqrt{}$ . Следовательно, $\sqrt{25} = 5$ (читай: квадратный корень из двадцати пяти равен пяти).

Аналогично $\sqrt{36} = 6$ , так как 6² = 36; $\sqrt{0,01} = 0,1$ , так как o,1² = 0,01; $\sqrt{0} = 0$ , так как 0² = 0.

Квадратным корнем из положительного числа a называется такое положительное число, квадрат которого равен данному числу a. Квадратный корень из нуля равен нулю.
В символической записи:
$\sqrt{a} = b$ , если b² = a и a ≥ 0, b ≥ 0.

Число a называется подкоренным числом, a число b, или число $\sqrt{a}$ – квадратным корнем. Выражение найти квадратный корень часто формулируют: извлечь квадратный корень.

Обрати внимание! При решении уравнений нужно действовать по-другому.

Пусть, к примеру, требуется найти корни уравнения x² = 9. Этими корнями являются как x = 3, так и x = –3, то есть $x = \sqrt{9}$ или $x = - \sqrt{9}$ , или $x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$ .

Квадратный корень из отрицательного числа извлечь нельзя, так как в множестве изученных нами чисел не существует числа, квадрат которого был бы отрицательным числом.

Из определения квадратного корня следует, что, например, $\sqrt{5^{2}} = \sqrt{25} = 5$ ; $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = \sqrt{25} = 5$ . Таким образом, квадратный корень из квадрата положительного числа равен самому этому числу, а квадратный корень из квадрата отрицательного числа равен противоположному ему числу. Это значит: $\sqrt{5^{2}} = 5$ ; $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = - (- 5) = 5$ .

Итак,

если a ≥ 0, то $\sqrt{a^{2}} = a$ ;

если a < 0, то $\sqrt{a^{2}} = - a$ .

По определению модуля числа можно записать это одним равенством:

$\sqrt{a^{2}} = |a|$ .

$|a| = \{\begin{cases} a, если a \geq 0 \\ - a, если a < 0 \end{cases}$

Из определения квадратного корня следует, что если $\sqrt{a} = b$ , то ${(\sqrt{a})}^{2} = b^{2} = a$ , или ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ .

Отсюда следует, что любое неотрицательное число а можно рассматривать как квадрат некоторого числа, т. е. $a = {(\sqrt{a})}^{2}$ . К примеру, $37 = {(\sqrt{37})}^{2}$ , $3,7 = {(\sqrt{3,7})}^{2}$ , $\frac{1}{3} = {(\sqrt{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}} = \sqrt{36} = 6$ ;
$\sqrt{{(- 6)}^{2}} = \sqrt{36} = 6$ ;
$\sqrt{0^{2}} = \sqrt{0} = 0$ .
${(- \sqrt{4})}^{2} = {(\sqrt{4})}^{2} = 4$ ;
$- {(\sqrt{9})}^{2} = - 9$ .
$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$ , так как ${(\frac{2}{5})}^{2} = \frac{4}{25}$ ;
$\sqrt{2 \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$ , так как ${(1 \frac{1}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$ .

Еще на эту тему

Упражнения A

Какое число называется квадратным корнем из числа 81?
Какое число называется квадратным корнем из данного положительного числа?
Почему нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа?

$\sqrt{16}$ =

$\sqrt{64}$ =

$\sqrt{81}$ =

$\sqrt{1}$ =

$\sqrt{-100}$ =

$\sqrt{121}$ =

$\sqrt{10 000}$ =

$\sqrt{0}$ =

$\sqrt{0,36}$ =

$\sqrt{0,64}$ =

$\sqrt{0,01}$ =

$\sqrt{1600}$ =

$\sqrt{- \frac{4}{25}}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{\frac{49}{144}}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{\frac{16}{81}}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{34^{2}}$ =

$\sqrt{{(- 6)}^{2}}$ =

$\sqrt{{0,8}^{2}}$ =

$\sqrt{2348^{2}}$ =

$\sqrt{2^{2}}$ =

$\sqrt{674^{2}}$ =

$- \sqrt{539^{2}}$ =

$\sqrt{{(- 536)}^{2}}$ =

$\sqrt{9999^{2}}$ =

$\sqrt{{(- 6)}^{2}}$ =

${(- \sqrt{8})}^{2}$ =

${(- \sqrt{19})}^{2}$ =

$- {(\sqrt{3})}^{2}$ =

${[\sqrt{{(- 3)}^{2}}]}^{2}$ =

${[- {(\sqrt{2})}^{2}]}^{2}$ =

$- \sqrt{{0,2}^{2}}$ =

$- \sqrt{{(- 0,8)}^{2}}$ =

${[- \sqrt{{(- 0,9)}^{2}}]}^{2}$ =

$- {[- \sqrt{{(- 1,4)}^{2}}]}^{2}$ =

$\sqrt{{[- {(- 5,2)}^{2}]}^{2}}$ =

$\sqrt{400} = 20$

$\sqrt{676} = 26$

$\sqrt{841} = 29$

$\sqrt{1296} = 36$

$\sqrt{1764} = 42$

$\sqrt{2209} = 47$

Еще на эту тему

Упражнения Б

$\sqrt{0,36}$ =

$\sqrt{2,89}$ =

$\sqrt{82,81}$ =

$\sqrt{90,25}$ =

$\sqrt{6,25}$ =

$\sqrt{20,25}$ =

$\sqrt{34,81}$ =

$\sqrt{56,25}$ =

$\sqrt{1 \frac{7}{9}}$ = $\sqrt{\frac{}{}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{3 \frac{1}{16}}$ = $\sqrt{\frac{}{}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{6 \frac{1}{4}}$ = $\sqrt{\frac{}{}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{1 \frac{17}{64}}$ = $\sqrt{\frac{}{}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{1 \frac{9}{16}}$ = $\sqrt{\frac{}{}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\sqrt{16} + \sqrt{9}$ $\sqrt{16 + 9}$

$\sqrt{169} - \sqrt{25}$ $\sqrt{169 - 25}$

$\sqrt{25} + \sqrt{144}$ $\sqrt{25 + 144}$

$\sqrt{1} + \sqrt{4} + \sqrt{4}$ $\sqrt{1 + 4 + 4}$

Можно ли извлечь квадратный корень из суммы или разности почленно?

$\sqrt{1 \cdot 2 + 0,25}$ =

$\sqrt{2 \cdot 3 + 0,25}$ =

$\sqrt{3 \cdot 4 + 0,25}$ =

$\sqrt{4 \cdot 5 + 0,25}$ =

$\sqrt{}$ =

Kак представить в общем виде с помощью переменной х выражения каждого из столбцов?

$\sqrt{}$ =

$\sqrt{1^{2} + 2 + 1}$ =

$\sqrt{2^{2} + 4 + 1}$ =

$\sqrt{3^{2} + 6 + 1}$ =

$\sqrt{4^{2} + 8 + 1}$ =

$\sqrt{}$ =

Kак представить в общем виде с помощью переменной х выражения каждого из столбцов?

$\sqrt{}$ =

Еще на эту тему

Количество баллов Opiq

	Работы
	Параграф проработан

Квадратный корень из числа

Еще на эту тему

Упражнения A

Еще на эту тему

Упражнения Б

Еще на эту тему

Добавить материал

Загружаемые файлы

Сообщить об ошибке

Сюда пишите только об ошибках Opiq. Пожалуйста, опишите ошибку как можно детальнее.

Если вы согласны поделиться информацией о себе, сообщите свои контактные данные (e-mail, телефон).

Поставьте галочку, чтобы помочь нам бороться со спамом

Opiq использует файлы cookie