- Является ли куб параллелепипедом?
- Что называется размерами параллелепипеда?
- Сколько граней у параллелепипеда и куба?
- Как вычислить площадь поверхности параллелепипеда и куба?
Параллелепипед и куб
Назови пространственные фигуры среди объектов, которые тебя окружают. Назови также тела, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда, и охарактеризуй их.
Прямоугольный параллелепипед является одной из уже известных тебе пространственных фигур (или тел). Он называется пространственной фигурой потому, что все его точки не расположены в одной плоскости. Все его грани являются прямоугольниками. Нижняя и верхняя грани называются основаниями, а остальные четыре – боковыми гранями. Длины рёбер, исходящих из одной и той же вершины прямоугольного параллелепипеда, называются его измерениями (или размерами). Это длина (а), ширина (b) и высота (с) прямоугольного параллелепипеда.
Куб также является прямоугольным параллелепипедом, но его грани – это не просто прямоугольники, а квадраты. Поэтому все рёбра куба (а) равны между собой. Все грани куба также равны между собой.
Задание 1
- Назови длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда и куба, изображённых на рисунке.
- Какие рёбра прямоугольного параллелепипеда равны между собой?
- Назови три различные по размеру грани прямоугольного параллелепипеда.
- Какие грани равны между собой? Назови их.
Развёртка и площадь поверхности параллелепипеда
На этом чертеже изображён прямоугольный параллелепипед и его развёртка, то есть плоская фигура, которая составлена из граней прямоугольного параллелепипеда.
Площадь развёртки прямоугольного параллелепипеда равна площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Совет. Возьми пустой спичечный коробок (прямоугольный параллелепипед) и сделай его развёртку. Смотри чертёж в учебнике.
Рассмотрим, как вычислить площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда. Существует две возможности.
Первая возможность
Так как поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из трёх пар равных граней, можем вычислить отдельно площадь одной грани из каждой пары, сложить их и умножить результат на число 2.
S = 2 · (ab + ac + bc)
Размеры параллелепипеда a = 4 см, b = 2 см и c = 6 см.
S = 2 · ( + + ) = (см2)
Ответ: площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда см2.
Вторая возможность
На чертеже с развёрткой прямоугольного параллелепипеда видно, что мы можем вычислить площадь прямоугольного параллелепипеда, сложив площади одного большого прямоугольника, который состоит из боковых граней прямоугольного параллелепипеда, и двух маленьких, которые являются его основаниями.
Найдём длину большого прямоугольника:
a + b + a + b = 2 · a + 2 · b = 2 · (a + b).
Длиной большого прямоугольника является периметр основания прямоугольного параллелепипеда:
P = 2 · (a + b).
Шириной прямоугольника является высота прямоугольного параллелепипеда c.
Площадь боковой поверхности =
периметр основания · высота.
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда получим, если сложим площадь боковой поверхности и площадь двух оснований прямоугольного параллелепипеда.
Площадь полной поверхности =
площадь боковой поверхности +
2 площади основания.
- Найди площадь боковой поверхности Sбок.
Периметр основания
P = 2 · ( + ) = (см)
Sбок = 5 = (см2)
- Найди площадь основания Sосн.
Sосн = a · b = (см2)
- Найди площадь полной поверхности S.
S = Sбок + 2Sосн = + 2 · =
= (см2)
Ответ: площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда см2.
- Площадь пола и потолка
- Площадь передней и задней стены
- Площадь боковых стен
- Общая площадь всех стен
Площадь поверхности куба
Назови предметы, которые имеют форму куба. Сколько равных граней и сколько равных рёбер у куба? Сколько у него вершин?
a2 = a · a.
Рассмотрим, как найти площадь полной поверхности куба.
Гранями куба являются 6 равных квадратов. Знаем, что площадь квадрата равна квадрату (a2) его стороны (a), поэтому площадь полной поверхности куба равна:
S = 6 · a2.
Пример
52 = 5 · 5 = 25
Упражнения
Задание 6
Нина, Зина и Марина рассматривают одни и те же «постройки» с разных сторон: одна смотрит слева, другая – спереди и третья – справа.
Нарисуй эти фигуры в тетради и раскрась.
На рисунках 1 и 2 закрась квадратики так, как девочки видят «постройку».
На рисунке 3 сначала определи, кто из девочек видит «постройку» таким образом, затем раскрась.
На рисунке показано, как из данной развёртки сложить куб «без крышки».
Определи, из каких изображённых ниже развёрток можно сложить такой же куб.
- 1)
- 2)
- 3)
