Решение задач с помощью систем линейных уравнений с двумя неизвестными

С помощью систем линейных уравнений с двумя нeизвестными можно решать задачи разного содержания. прежде, чем приступать к решению задачи, необходимо понять ее содержание и составить план решения. Затем нужно выполнить этот план и проверить полученный результат, а возможно, и правильность выполнения плана. Такой метод решения задач разработал венгр Дьёрдь Пойа (György Pólya, 1887–1985). В 1945 году математик, который долго жил и работал в Швейцарии и Америке, опубликовал свою популярную книгу «Как решать задачу». В своей книге Д. Пойа писал, что процесс решения задачи можно разделить на этапы:

Книга Пойа переведена на многие языки мира (тираж более 1 млн. экз).

нужно понять задачу – внимательно прочитать ее текст, уяснить смысл всех слов и понятий, понять, что дано и на какие вопросы требуется ответить;
нужно составить план решения – это самая трудная часть процесса решения. Для этого можно воспользоваться, например, следующей стратегией: упорядочить данные, найти связи между данными и неизвестными, при возможности сделать чертеж, найти нужные формулы, составить уравнение, попробовать решить вспомогательные задачи для более простых случаев;
нужно осуществить план решения – решить составленное уравнение или уравнения, проверяя каждый шаг своих математических действий;
найденное решение нужно проверить – соответствует ли оно условиям задачи и получены ли ответы на поставленные в задаче вопросы.

Из Таллинна в Тарту вышел товарный поезд, и одновременно из Тарту навстречу ему вышел пассажирский поезд. Через два часа поезда встретились. Найди среднюю скорость каждого поезда, если расстояние от Таллинна до Тарту по железной дороге составляет примерно 200 км, а пассажирский поезд проходит в час на 40 км больше, чем товарный.

Решение. Пусть средняя скорость пассажирского поезда равна x км/ч, а средняя скорость товарного поезда равна y км/ч.

Так как поезда встретились через 2 часа, то к моменту встречи пассажирский поезд прошел 2x км, а товарный 2y км. Сумма пройденных поездами расстояний равна расстоянию от Таллинна до Тарту, т. е. 200 км. Таким образом, мы получаем уравнение:

2x + 2y = 200, или
x + y = 100.

Так как скорость пассажирского поезда на 40 км/ч больше скорости товарного поезда, то мы получаем второе уравнение:

x – y = 40.

Объединив составленные уравнения, получим систему

$\{\begin{cases} x + y = 100 \\ x - y = 40, \end{cases}$

решив которую, найдем: x = 70 и y = 30.

Проверка. Если скорость пассажирского поезда будет 70 км/ч и скорость товарного 30 км/ч, то сумма пройденных ими за час расстояний будет 70 км + 30 км = 100 км. Поэтому за 2 часа поезда пройдут в сумме 200 км, т. е. действительно встретятся через 2 ч. Кроме того, пассажирский поезд и в самом деле проходит в час на 40 км больше, чем товарный, так как 70 км/ч – 30 км/ч = 40 км/ч.

Ответ: скорость пассажирского поезда 70 км/ч, а скорость товарного поезда 30 км/ч.

Мастерская получила заказ на изготовление сувенирных значков к установленному сроку. Если мастерская будет изготавливать в день по 180 значков, то к этому сроку мастерская изготовит на 600 значков меньше, чем заказано. Если же в день будут изготавливать по 210 значков, то к установленному сроку заказ будет перевыполнен на 300 значков. Сколько значков было заказано и за сколько дней мастерская обязалась выполнить заказ?

Решение. Предположим, что заказали x значков и заказ нужно выполнить за y дней. Если в день будут изготавливать по 180 значков, то к сроку (за y дней) будет изготовлено 180у значков, что на 600 штук меньше, чем заказано, т. е. x – 600.

Таким образом, мы получаем уравнение

x – 600 = 180y.

Если в день будут изготавливать по 210 значков, то за y дней их будет изготовлено 210у штук, что по условию на 300 штук больше, чем x. Следовательно,

x + 300 = 210y.

Мы получили систему уравнений

$\{\begin{cases} x - 600 = 180 y \\ x + 300 = 210 y . \end{cases}$

Реши эту систему самостоятельно и проверь, удовлетворяет ли найденное решение условиям задачи.

Ще на цю тему

Упражнения A

Ответ: эти числа есть и .

Ответ: эти числа есть и.

Ответ: эти числа есть и .

Ответ: первое число равно , а второе – .

Отношение двух чисел – это частное от деления одного числа на другое. Отношение часто записывают в виде действия деления, например, 3 : 2.

Ответ: эти числа есть и .

Сумма двух чисел равна 45, а частное от деления одного числа на другое равно $\frac{7}{8}$ . Найди эти числа.

Ответ: эти числа есть и .

Ответ: в начале учебного года в 8А классе было ученика и в 8Б классе – ученика.

Ответ: купили можжевельников и елей.

Ответ: хуторянин продал кг малины и кг лисичек.

Ответ: сумма недостачи была евро.

Ответ: в копилке было 20-центовые и 50-центовых монет.

Ответ: на олимпиаду пришли школьника, а столов в помещении было .

Ответ: турист взял с собой € и поездка будет длиться дней.

Ответ: стороны параллелограмма равны см и см.

Ответ: площадь этой площадки м².

Ответ: ширина прямоугольника равна см, а длина – см.

Общий вид двузначного числа есть 10a + b, где a – цифра десятков и b – цифра единиц числа.

Ответ: первоначальное число равно .

Ответ: эти числа есть и .

Если числитель дроби уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 2, то получится число $\frac{1}{3}$ . Если же числитель увеличить на 1, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная $\frac{3}{4}$ . Найди эту дробь.

Ответ: эта дробь есть $\frac{}{}$ .

Если числитель дроби уменьшить на 1, то получится дробь, равная $\frac{1}{2}$ . Если же числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель уменьшить на 1, то получится число $\frac{5}{3}$ . Найди эту дробь.

Ответ: эта дробь равна $\frac{}{}$ .

Ответ: a = , b = .

Ответ: до повышения цены учебник стоил евро, а рабочая тетрадь – евро.

Лодка движется по течению реки со скоростью 15 км/ч, а против течения – со скоростью 10 км/ч. Найди скорость движения лодки в стоячей воде и скорость течения реки.

Ответ: скорость движения лодки в стоячей воде $\frac{км}{ч}$ и скорость течения реки $\frac{км}{ч}$ .

Серый журавль летел против ветра со скоростью 37 км/ч, а по ветру – со скоростью 63 км/ч. Какова была скорость ветра и с какой скоростью летел бы журавль в безветренную погоду?

Ответ: в безветренную погоду журавль летел бы со скоростью $\frac{км}{ч}$ , а скорость ветра была $\frac{км}{ч}$ .

Ответ: сестре сейчас лет, а брату год.

Ответ: отцу лет, а матери года.

Ответ: в семье детей.

Ответ: более дорогой билет стоил €, а более дешевый – €.

Ответ: на компьютере Антон пишет слова в минуту, а от руки – слов в минуту.

Ответ: один путешественник шел со скоростью $\frac{км}{ч}$ , а другой – со скоростью $\frac{км}{ч}$ .

Ответ: более быстрая улитка ползет со скоростью $\frac{м}{ч}$ , а более медленная – со скоростью $\frac{м}{ч}$ .

Ответ: в группе было человек и сумма выигрыша была €.

Ответ: углы треугольника равны °, ° и °.

Чему равна сумма прилежащих к одной стороне параллелограмма углов α + β?

Ответ: углы, прилежащие к стороне параллелограмма, равны ° и °.

Ответ: из одной трубы втекает за час м³ воды, а через другую трубу – м³.

Ответ: огородники расширили овощные посадки на м².

Ще на цю тему

Упражнения Б

Ответ: коэффициентами уравнения являются: a = , b = .

Подсказка

Подставив в уравнение сначала одну пару чисел, а затем вторую, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов a и b.

Ответ: коэффициенты уравнения есть: k = , l = .

Ответ: a = , b = .

Ответ: y =

Ответ: a = , b = .

Ответ: уравнением этой прямой является .

Ответ: скорость более быстрого велосипедиста равна $\frac{м}{мин}$ , а скорость более медленного – $\frac{м}{мин}$ .

Ответ: в одиночку отец мог бы выполнить работу за дней, а сын – за дней.

Ответ: расстояние между меньшими сторонами параллелограмма равно см.

Ответ: длина равна см, а ширина – см.

Ответ: маме сейчас года, а дочери лет.

Ответ: сейчас сестре год, а брату лет.

Ответ: за час первый насос откачивает м³ воды, а второй насос – м³ воды.

Ответ: у Маши € , у Наташи €.

Ответ: первоначальное число было .

делимое = частное · делитель + остаток

Например: 20 : 6 = 3, остаток 2, 20 = 3 · 6 + 2.

Ответ: это число есть .

Ответ: в первой бочке литров бензина, а во второй бочке – литров.

Ответ: по этим данным однозначно найти стоимости килограмма масла и килограмма сыра.

x кг меди + y кг цинка =
= (x + y) кг латуни

Ответ: в этом куске кг меди и кг цинка.

Если бы при изготовлении сплава осталось неиспользованным $\frac{6}{7}$ имеющегося количества меди и 60% цинка, то масса сплава была бы равна 200 г. Какова масса куска латуни?

Ответ: масса куска равна кг.

Плотность этого сплава составляет 9 г/см³, плотность серебра – 10,2 г/см³ и плотность олова – 7,3 г/см³. Сколько олова и сколько серебра содержит этот кусок сплава?

Ответ: в этом куске г олова и г серебра.

Подсказка

плотность = \frac{масса}{объем}

Ответ: нужно взять г серебра 850-й и г серебра 720-й пробы.

Подсказка

Проба на сплаве металла показывает, сколько тысячных частей (т. е. промилле) чистого металла содержит сплав.
Например, 850‰ – это

\frac{850}{1000}

части.

Ответ: нужно взять кг чистой меди и кг бронзы с 50%-ым содержанием меди.

Ответ: нужно взять кг 90%-й кислоты и кг 70%-й кислоты.

Ответ: объем всего айсберга равен м³, а его масса – т.

Подсказка

Плавающий в море айсберг весит ровно столько, сколько воды вытесняет подводная часть айсберга.

Ответ: масса камня равна кг, а масса пробки – кг.

Подсказка

Тело уравновешивается в воде (т. е. не всплывает и не тонет), если плотность его вещества равна плотности воды (1,0 г/см³).

Ще на цю тему

Прогрес в Opiq

	Роботи
	Параграф опрацьовано

Решение задач с помощью систем линейных уравнений с двумя неизвестными

Ще на цю тему

Упражнения A

Ще на цю тему

Упражнения Б

Подсказка

Подсказка

Подсказка

Подсказка

Подсказка

Ще на цю тему

Додати матеріал

Файли для завантаження

Повідомити про помилку

Сюди пишіть лише про помилки Opiq. Будь ласка, опишіть помилку якомога детальніше.

Якщо Ви погоджуєтеся поділитися інформацією про себе, повідомте свої контактні дані (e-mail, телефон).

Поставте галочку, щоб допомогти нам боротися зі спамом

Opiq використовує файли cookie