Два взаимно перпендикулярных диаметра окружности делят полный угол на четыре равных центральных угла, по 90° каждый (рис. А).
 Рис. А | ||||||||
Если полученные точки деления соединить между собой хордами, то получится четырехугольник ABCD (рис. Б). Все стороны этого четырехугольника равны между собой, как гипотенузы равных прямоугольных треугольников AOB, BOC, COD и AOD. Все углы данного четырехугольника являются прямыми, как вписанные углы, опирающиеся на диаметр. Следовательно, четырехугольник ABCD – квадрат. Квадрат называют правильным четырехугольником.
 Рис. Б | ||||||||
Разделим пополам углы между двумя взаимно перпендикулярными диаметрами (рис. В). Тогда окружность разделится на восемь равных дуг, на каждую из которых опирается центральный угол, равный 45°.
 Рис. В | ||||||||
Соединив точки деления хордами, мы получим восьмиугольник ANBKCLДМ (рис. Г). Все стороны этого восьмиугольника равны между собой, как основания равных равнобедренных треугольников. Все углы ANB, NBK, МAN, … данного восьмиугольника также равны, так как они являются вписанными углами, опирающимися на равные дуги. Такой восьмиугольник называется правильным восьмиугольником.
 Рис. Г | ||||||||
В общем случае:
многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, называется правильным многоугольником.
Величина каждой части | |
30° | , так как |
10° | , так как |
70° | , так как |
12° | , Так как |
- Многоугольник, у которого все стороны равны, является правильным.
- Многоугольник, у которого все углы равны, является правильным.
- Квадрат является правильным многоугольником.
- Ромб является правильным многоугольником.
- Некоторые прямоугольники являются правильными четырехугольниками.
Из правильных многоугольников проще всего начертить правильный шестиугольник. Покажем, как это сделать.
Допустим, что дуга на рисунке составляет окружности радиуса R. Тогда центральный угол AOB равен 360° : 6 = 60°. Так как треугольник AOB – равнобедренный, то углы OAB и OBA при его основании также равны 60°. Следовательно, треугольник AOB является равносторонним треугольником, откуда AB = R.
 | ||||||||
Отсюда мы получаем простой способ построения правильного шестиугольника. Для этого установим ножки циркуля на расстояние, равное радиусу окружности, и отметим, «шагая» этим циркулем по окружности, точки деления. Соединив их последовательно хордами, мы получим правильный шестиугольник.
Если после деления окружности на шесть равных частей соединить хордами точки деления через одну, то получим равносторонний, или правильный треугольник.
 | ||||||||
Окружность можно разделить циркулем на равные части также методом проб.
Упражнения A
 |
||||||||
Указание. После того, как найдешь одну сторону многоугольника, воспользуйся инструментом «Правильный многоугольник».
 «Правильный многоугольник» |  «Площадь» | |||
Найди площади шестиугольника и треугольника с помощью инструмента «Площадь». Во сколько раз площадь шестиугольника больше площади треугольника? Постарайся обосновать полученный результат, дополнив чертеж нужными отрезками.
Ответ: площадь шестиугольника в раза(а) больше площади треугольника.
Подсказка
Выбери инструмент «Расстояние или длина» и щелкни мышью на внутренние области многоугольников, а также на окружность. Получишь периметры многоугольников и длину окружности.
Вычисли, сколько процентов от длины окружности составляет периметр пятиугольника и сколько – периметр десятиугольника.
Ответ: периметр пятиугольника составляет % от длины окружности, а периметр десятиугольника – % от длины окружности.
Ответ: площадь круга равна
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника есть (n – 2) · 180°, где n – число вершин многоугольника.
Число вершин | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 |
Внутренний угол |
Упражнения Б
 |
||||||||
Треугольник | Четырехугольник | Пятиугольник | Шестиугольник | n-угольник | |
Число осей симметрии |
Внутренний угол | 135° | 140° | 144° | 150° | 170° |
Число сторон |
Для построения узоров хорошо подходит программа GeoGebra.
3 стороны | 4 стороны | 5 сторон | |
Внешний угол | ° | ° | ° |
Сумма внешних углов | ° | ° | ° |
Внешний угол | 24° | 30° | 36° | 45° | 60° |
Многоугольник | -угольник | -угольник | -угольник | -угольник | -угольник |
1040. Орнаменты
На рисунке изображены три орнамента. Подумай, как начертить их. Изобрази такие орнаменты в тетради и раскрась по своему вкусу.
орнамент – украшение
