Курс "Функции"
Займемся изучением свойств функций. Рассмотрим график некоторой функции y = f (x), изображенный на рисунке 2.14. Будем считать, что на рисунке изображена только часть графика и что вне отрезка [–2; 8] этот график и далее продолжается так, как показано на рисунке (т. е. влево вниз и право вверх).
Областью определения функции будет множество X = R. Множеством значений функции будет также множество R, так как функция принимает любое значение у из интервала (–∞; ∞). Выделим те части области определения, в которых значения функции положительны, отрицательны или равны нулю.
Значения аргумента, при которых значения функции равны 0, называются нулями функции[понятие: Нули функции (funktsiooni nullkohad) – значения аргумента, при которых значения функции равны 0.].
Чтобы найти нули функции у = f (x), нужно решить уравнение f (x) = 0.
Множество всех нулей функции обозначается символом X0. Нули функции – это точки оси абсцисс, в которых график функции пересекает эту ось или касается ее. Рассматриваемая функция y = f (x) имеет 4 нуля (рис. 2.14): x1 = –2, x2 = 1, x3 = 4, x4 = 8, т. е. X0 = {–2; 1; 4; 8}.
Область положительности функции[понятие: Область положительности функции (funktsiooni positiivsuspiirkond) – множество тех значений аргумента, при которых функция принимает положительные значения. Обозначение: 𝑋⁺.] – это множество тех значений аргумента, при которых функция принимает положительные значения. Чтобы найти область положительности функции у = f (x), нужно решить неравенство f (x) > 0.
Область отрицательности функции[понятие: Область отрицательности функции (funktsiooni negatiivsuspiirkond) – множество тех значений аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения. Обозначение: 𝑋⁻.] – это множество тех значений аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения. Чтобы найти область отрицательности функции у = f (x), нужно решить неравенство f (x) < 0.
Для функции f с областью определения Х ее область положительности обозначается символом X+, а область отрицательности – символом X–. Для всех точек области положительности X+ соответствующие точки графика функции расположены выше оси Ох (рис. 2.15, а), а для всех точек области отрицательности Х– – ниже оси Ох (рис. 2.15, b).
Для рассмотренной на рисунке функции
X+ = (–2; 1) ∪ (4; 8) ∪ (8; ∞) и X– = (–∞; –2) ∪ (1; 4).
В общем случае область определения Х разбивается на три части: Х+, Х– и множество нулей Х0, т. е.
X = X0 ∪ X+ ∪ X–.
Пример.
Найдем нули, область положительности и область отрицательности функции у = 4х – 2. Нули найдем, решив уравнение 4х – 2 = 0, и получим, что нулем является х = 0,5.
Область положительности найдем из неравенства 4x – 2 > 0, из которого 4x > 2, или x > 0,5. Область отрицательности определена неравенством 4x – 2 < 0, откуда x < 0,5.
Ответ: X0 = {0,5}, X+ = (0,5; ∞), X– = (–∞; 0,5).
Упражнения
