Решение уравнения cos x = m

Пример 1.

Для уравнения \cos x=0,5 найдем его общее решение, а также корни, принадлежащие отрезку [-2\pi;\ 2\pi] (см. также рис. 2.55).

Поскольку \cos60°=0,5, то общим решением уравнения является x=\pm60°+n\cdot360°, где n ∈ Z. Нетрудно убедиться, что посторонних корней в этой формуле не содержится.

Найдем корни, принадлежащие отрезку [-2\pi;\ 2\pi], придавая для этого числу n целочисленные значения. Если n=0, то x=\pm60° и эти корни принадлежат рассматриваемому промежутку. Если n=1, то корень x=420° не содержится в данном промежутке, а корень x=300° входит в промежуток, при n=-1 получим x=−300°, что принадлежит промежутку, x=−420° не входит в промежуток.

Таким образом, искомые частные решения есть x_1=-300°, x_2=-60°, x_3=60°, x_4=300°.

Пример 2.

Решим уравнение \sin x-\cos x=1 на отрезке \left[-2\pi;\ 2\pi\right], т. е. −2\pi\le x\le2\pi.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(\sin x-\cos x)^2=1^2 ⇒ \sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=1 ⇒ \sin x\cos x=0.

Из последнего уравнения получим:

1. если \sin x=0, то x=n\pi, n ∈ Z и из этих углов заданному отрезку принадлежат углы −2π, −π, 0, π и 2π, однако исходному уравнению удовлетворяют лишь углы −π и π;
2. если \cos x=0, то x=\pm\frac{\pi}{2}+2n\pi, n ∈ Z. В этом случае заданному промежутку принадлежат углы -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, но исходному уравнению удовлетворяют лишь углы -\frac{3\pi}{2} и \frac{\pi}{2}.

Ответ: корнями уравнения являются -\frac{3\pi}{2}; -\pi; \frac{\pi}{2}; \pi.