Prisma

Prismaks nimetatakse hulk­tahukat, mille kaks tahku on paralleelsed kumerad hulk­nurgad ja üle­jäänud tahud rööp­külikud, millel iga­ühel on kummagi hulk­nurgaga üks ühine külg.

Paralleelseid hulk­nurki nimetatakse prisma põhjadeks, nende hulk­nurkade külgi prisma põhi­servadeks, rööp­külikuid prisma külg­tahkudeks ja külg­tahkude ühiseid servi prisma külg­servadeks. Kui prisma põhjaks on n-nurk, siis nimetatakse prismat n-nurkseks prismaks.

Prisma külg­servad on võrdsed ja paralleelsed. Prismat, mille külg­servad on risti põhjaga, nimetatakse püst­prismaks (joon. 3.11a). Prismat, mille külg­servad ei ole risti põhjaga, nimetatakse kald­prismaks (joon. 3.11b). Prisma põhjade vahelist kaugust ja seda määravat rist­lõiku nimetatakse prisma kõrguseks. Püst­prisma kõrgus on võrdne külg­servaga.

Joon. 3.11

Prisma diagonaaliks nimetatakse lõiku, mis ühendab prisma kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu (joon. 3.12a). Selliselt defineeritakse ka mis tahes kumera hulk­tahuka diagonaal.

Püst­prismat, mille põhjaks on korra­pärane hulk­nurk, nimetatakse korra­päraseks prismaks.

Kui lõigata prismat tasandiga, mis läbib prisma kaht mitte ühele tahule kuuluvat külg­serva, saadakse prisma diagonaal­lõige (joon. 3.12b).

Joon. 3.12

Prisma külg­pindalaks nimetatakse tema külg­tahkude pindalade summat. Prisma täis­pindala saadakse, kui külg­pindalale liidetakse kahe põhja pindalad.

Põhi­koolist on teada, et püst­prisma külg­pindala on võrdne prisma põhja ümber­mõõdu ja prisma kõrguse korrutisega:

S_k=Ph.

Püst­prisma ruumala on võrdne põhja pindala ja prisma kõrguse korrutisega:

V=S_p\ h.

Järgnevas uurime, millised on vastavad valemid kald­prisma korral.

Kald­prisma külg­tahkudeks on rööp­külikud. Võttes prisma külg­servad rööp­külikute alusteks (joon. 3.13), on prisma rist­lõike küljed rööp­külikute kõrgusteks ja rööp­küliku pindala valemi kohaselt prisma külg­pindala

S_k=ma_1+ma_2+\dots+ma_n=m\left(a_1+a_2+\dots+a_n\right)=Pm,

kus P on prisma rist­lõike ümber­mõõt ja m on külg­serv.

Joon. 3.13

Kald­prisma külg­pindala võrdub prisma rist­lõike ümber­mõõdu ja külg­serva korrutisega.

Ka kald­prisma täis­pindala võrdub külg­pindala ja kahe põhja pindala summaga.

TEOREEM. Kald­prisma ruumala võrdub prisma põhja pindala ja kõrguse korrutisega: V = Sp h.

Tõestus

Ruumala leidmiseks kasutame valemit V=\int_0^hS\left(x\right)dx. Teame, et kald­prisma põhjaga paralleelsed lõiked on põhjaga võrdsed hulk­nurgad. Seega on põhjaga paralleelsete lõigete pindalad kõik võrdsed ja võrduvad kald­prisma põhja pindalaga Sp (joon. 3.14):

S(x) = Sp.

Arvestades, et Sp on konstantne, saame

V = \int_0^hS\left(x\right)dx = S_p\int_0^hdx = Sp x0h = S_p\ h.

Joon. 3.14

Järelikult ka kald­prisma ruumala on võrdne prisma põhja pindala ja kõrguse korrutisega. ♦

Kuna eelnev arutelu sobib ka püst­prisma jaoks, võime kokku­võttes öelda, et iga prisma ruumala on võrdne põhja pindala ja kõrguse korrutisega.

Ще на цю тему
Інші дії

Ülesanded A

Ülesanne 646. Prisma
  1. rööp­tahukaks?
  2. rist­tahukaks?
  3. kuubiks?
Ülesanne 647. Prisma diagonaalid
  1. kolm­nurksel prismal?
    Vastus. Kolm­nurksel prismal on  diagonaali.
  2. neli­nurksel prismal?
    Vastus. Neli­nurksel prismal on  diagonaali.
  3. viis­nurksel prismal?
    Vastus. Viis­nurksel prismal on  diagonaali.
  4. n-nurksel prismal?
    Vastus. n-nurksel prismal on  diagonaali.
Ülesanne 648. Prisma tahud, tipud ja servad

Tahkude arv

Tippude arv

Servade arv

kolm­nurksel prismal?

neli­nurksel prismal?

viis­nurksel prismal?

n-nurksel prismal?

Ülesanne 649. Prisma tahud, tipud ja servad
  1. Prismal on 46 tippu. Mitu tahku ja mitu serva on sellel prismal?
    Vastus.  tahku ja  serva
  2. Prismal on 27 tahku. Mitu tippu ja mitu serva on sellel prismal?
    Vastus.  tippu ja  serva
  3. Prismal on 42 serva. Mitu tahku ja mitu tippu on sellel prismal?
    Vastus.  tahku ja  tippu
  4. Missugune on minimaalne prisma tahkude, tippude ja servade arv?
    Vastus.  tahku,  tippu,  serva
  5. Prismal on p tippu, q serva ja r tahku. Leidke seos arvude p, q ja r vahel. Tõestage see seos. Saadud seost nimetatakse Euleri valemiks.
    Vastus. Seos: 
Ülesanne 650. Rist­tahuka diagonaal

Vastus. d = 

Ülesanne 651. Rist­tahuka diagonaalid

Vastus. 

Ülesanne 652. Korra­pärane kolm­nurkne prisma

Vastus. Sk = 

Ülesanne 653. Korra­pärane kuus­nurkne prisma

Vastus. Sk =  m2

Ülesanne 654. Püst­rööp­tahukas

Vastus. St =  cm2

Ülesanne 655. Korra­pärane kuus­nurkne prisma

Vastus. Selle prisma pikem diagonaal on   ja lühem diagonaal on  ning vastavate diagonaal­lõigete pindalad on  ja .

Ülesanne 656. Korra­pärane prisma
  1. kolm­nurkne.
    Vastus. St = 
  2. neli­nurkne.
    Vastus. St = 
  3. kuus­nurkne.
    Vastus. St = 
Ülesanne 657. Kärje­kannud
  1. Milliste korra­päraste võrdsete hulk­nurkadega on võimalik katta aukudeta ja kattumisteta kärje pind?
  2. On selge, et mesilased valivad kärje­kannule sellise kuju, et ehitamiseks kuluks vähim hulk vaha. Millest sõltub kärje­kannu fikseeritud kõrguse, seina paksuse ja põhja pindala korral selle ehitamiseks vaja­minev vaha hulk?
  3. Võtke kärje­kannu põhja pindalaks 1 ruut­ühik. Arvutage kõikide ala­punktis 1 leitud hulk­nurkade ümber­mõõdud juhul, kui hulk­nurga pindala on 1. Millise hulk­nurga korral saame prisma, mille külg­pindala on vähim?
Ülesanne 658. Kuubid

Vastus. Selle kuubi serv on  cm

Ülesanne 659. Rist­tahukas ja kuup

Vastus. Selle rist­tahukaga ruum­võrdse kuubi serv on  m.

Ülesanne 660. Vee­reservuaar

Vastus. Reservuaar tuleb teha  m kõrgune.

Ülesanne 661. Rist­tahuka­kujuline nõu

Vastus. Vee­pind tõuseb  dm kõrgusele.

Ülesanne 662. Raud­tee­tamm

Vastus. Selle tammi ehitamiseks vajatakse  m3 mulda.

Ülesanne 663. Maan­tee­tamm

Vastus. Selle tee­tammi iga 10 m pikkuse lõigu jaoks tuleb tuua  m3 pinnast.

Ülesanne 664. Kanal

Vastus. 1 tunni jooksul voolab läbi selle kanali rist­lõike  m3 vett.

Ülesanne 665. Pööningu ruumala

Vastus. V =  m3

Ще на цю тему
Інші дії

Ülesanded B

Ülesanne 666. Püst­rööp­tahukas

Vastus. V = 

Ülesanne 667. Rist­tahukas

Vastus. V = 

Ülesanne 668. Rist­tahukas

Vastus. V = 

Ülesanne 669. Korra­pärane neli­nurkne prisma

Vastus. Prisma põhi­serv on  cm ja külg­serv  cm või põhi­serv on  cm ja külg­serv  cm.

Ülesanne 670. Rist­tahukas

Vastus. Sk =  cm2

Ülesanne 671. Korra­pärane neli­nurkne prisma

Vastus. Sk = ; St = 

Ülesanne 672. Kolm­nurkne püst­prisma

Vastus. St =  cm2

Ülesanne 673. Kolm­nurkne kald­prisma

Vastus. Sk =  cm2

Ülesanne 674. Neli­nurkne kald­prisma

Vastus. Prisma külg­serv on  cm.

Ülesanne 675. Kald­prisma

Vastus. Sp = 

Ülesanne 676. Kolm­nurkne kald­prisma

Vastus. St =  cm2

Ülesanne 677. Kolm­nurkne kald­prisma

Vastus. Sk =  cm2

Ülesanne 678. Rist­tahukas

Vastus. V =  dm3

Ülesanne 679. Korra­pärane kuus­nurkne prisma

Vastus. V =  cm3

Ülesanne 680. Rööp­tahukas

Vastus. V = 

Ülesanne 681. Rööp­tahukas

Vastus. V =  m3

Ülesanne 682. Rööp­tahukas

Vastus. V =  dm3

Ülesanne 683. Kolm­nurkne prisma

Vastus. V =  cm3

Ülesanne 684. Püst­rööp­tahukas

Vastus. V =  dm3

Ще на цю тему
Інші дії