Täisnurkse kolmnurga lahendamine 1

Täisnurkse kolmnurga lahendamine, kui on antud

  • hüpotenuus ja teravnurk
  • kaatet ja teravnurk
  • kaatet ja hüpotenuus
  • kaatetid
Seotud sisu
Muud tegevused

Kolmnurga elemendid

 Kolmnurga lahendamine tähendab, et leitakse selle puuduvad elemendid.

Märka

Kolmnurga lahendamiseks peab olema teada kolm kolmnurga elementi, millest vähemalt üks on külg.

Täisnurkses kolmnurgas on üks element alati teada, s.o nurk 90°, järelikult piisab selle lahendamiseks vaid kahe lisaelemendi teadmisest, kusjuures üheks elemendiks on külg.

  1. nurgad 16° ja 77° 
  2. nurgad 42°15′ ja 47,75° 
  3. nurgad 0,2° ja 90° 
  4. küljed 50 cm, 14 cm, 48 cm 
  5. küljed 54 cm, 24 cm, 73 cm 
  6. küljed 74 cm, 70 cm, 24 cm 
Seotud sisu
Muud tegevused

Hüpotenuusi ja teravnurga kaudu

Näide

Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 4 cm ja üks teravnurk 35°. Lahendame kolmnurga sajandiku täpsusega.

Antud
​α = 35°
c = 4 cm

Puuduvad elemendid
a, b, ​β

Lahendus

  1. Leiame kaatetid.
    ​Et  sin α = a c  ja cos α = b c ,  siis​
    a = c ⋅ sin α ja b = c ​⋅ cos α.
    ​Arvutame:
    ​a = 4 ⋅ sin 35° ≈ 4 ⋅ 0,5736 ≈ 2,29 (cm),
    b = 4 ⋅ cos 35° ≈ 4 ⋅ 0,8192 ≈ 3,28 (cm).​
  2. Leiame teise teravnurga.
    ​β = 90° − α = 90° − 35° = 55°
  3. Kontrollime vastust Pythagorase teoreemi kaudu.
    ​a2 + b2 ≈ 2,292 + 3,282 = 16,0025
    ​c2 ≈ 16

Vastus. Kolmnurga kaatetid on ligikaudu 2,29 cm ja 3,28 cm ning teine teravnurk 55°.

Lahendamise meistriklass

  • a = c ⋅  ≈  (cm)*
  • b = c ⋅  ≈  (cm)*
  • β = °'
* algandmetega

c =  2 2  cm
α = 60°

  • a = c ⋅  =   (cm)*
  • b = c ⋅  =   (cm)*
  • β = °
* algandmetega
Seotud sisu
Muud tegevused

Kaateti ja teravnurga kaudu

Näide

Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 9 m ja selle lähisnurk 26°. Lahendame kolmnurga kümnendiku täpsusega.

Antud
​b = 9 m
​α = 26°

Puuduvad elemendid
a, c, ​β

Lahendus

  1. Leiame hüpotenuusi.
    ​ cos α = b c ⇔ c = b cos α ,  seega
    ​ c = 9 cos 26° ≈ 9 0,899 ≈ 10,0 (m).
  2. Leiame teise kaateti.
    ​ tan α = a b ⇔ a = b ⋅ tan α ,
    a = 9 ⋅ tan 26° ≈ 9 ⋅ 0,488 ≈ 4,4 (m).​
  3. Leiame teise teravnurga.
    β = 90° − 26° = 64°

Vastus. Kolmnurga teine kaatet on ligikaudu 4,4 m, hüpotenuus 10,0 m ning teine teravnurk 64°.

Lahendamise meistriklass

  • c = b   ≈  (cm)
  • a = b   ≈  (cm)
  • β = °'

b =  3  cm
α = 45°

  • c = b   =   (cm)
  • a = b   =  (cm)
  • β = °
  • c = 10   ≈  (cm)
  • b = 10   ≈  (cm)
  • β = °'
Seotud sisu
Muud tegevused

Kaateti ja hüpotenuusi kaudu

Näide

On antud täisnurkse kolmnurga üks kaatet 9,5 cm ja hüpotenuus 13 cm. Lahendame kolmnurga sajandiku täpsusega.

Antud
​a = 9,5 m
​c = 13 cm

Puuduvad elemendid
b, α, ​β

Lahendus

  1. Leiame kaateti b​ Pythagorase teoreemi kaudu.
    a2 + b2 = c2 ⇔ b =​ c2 - a2 ,
    b = 132 - 9,52 = 169-90,25 =     69,75 ≈ 8,35 (cm).   ​
  2. Arvutame teravnurga α.
    ​ sin α = a c = 9,5 13 ≈ 0,7308 ⇔    α ≈ 46,95°
  3. Arvutame teise teravnurga β.
    ​​β ≈ 90° − 46,95° = 43,05°
  4. Kontrolliks võib leida tanβ väärtuse.

Vastus. Kolmnurga teine kaatet on ligikaudu 8,35 cm ning teravnurgad 46,95° ja 43,05°.

  •  b =  cm
  • α ≈ °'
  • β ≈ °'
Seotud sisu
Muud tegevused

Kaatetite kaudu

Näide

On antud täisnurkse kolmnurga üks kaatet 6 m ja teine kaatet 8 m. Lahendame kolmnurga sajandiku täpsusega.

Antud
​a = 6 m
​b = 8 m

Puuduvad elemendid
c, α, ​β

Lahendus

  1. Leiame hüpotenuusi c​ Pythagorase teoreemi kaudu.
    a2 + b2 = c2 ⇔    c = a2 + b2 , ​
    ​ c = 62 + 82 = 100 = 10 (m).
  2. Arvutame teravnurga α.
    ​ tan α = a b = 4 3 ⇔    α ≈ 53,13°
  3. Arvutame teise teravnurga β.
    ​β ≈ 90° − 53,15° = 36,85°
  4. Kontrolliks võib leida sinβ väärtuse ja võrrelda seda cosα väärtusega.

Vastus. Kolmnurga hüpotenuus on 10 m ning teravnurgad 53,13° ja 36,85°.

Lahendamise meistriklass

  • c = 
  • α ≈ °′ (väiksem teravnurk)
  • β ≈ °′ (suurem teravnurk)
  • c = 
  • α ≈ °′ (väiksem teravnurk)
  • β ≈ °′ (suurem teravnurk)
Seotud sisu
Muud tegevused

Harjuta ja treeni

1. kolmnurk

b = 32 cm
α = 32°30'

a ≈  cm 
c ≈  cm 
β = °'
S ≈  cm2

2. kolmnurk

c = 8,67 cm
α = 62°15'

a ≈  cm 
b ≈  cm 
β = °'
S ≈  cm2

3. kolmnurk

a = 47 dm
b = 51,5 dm

c ≈  cm
α ≈ °' 
β = °' 
S ≈  dm2

4. kolmnurk

a = 290 km
c = 362 km

b ≈  km
α ≈ °' 
β ≈ °' 
S ≈  km2

Vastus. sin α =    = 

Vastus

cos β =    = 

Vastus

  • tan α =    = 
  • tan β =    = 
  • Esimese kolmnurga hüpotenuus on  cm.
  • Sarnasustegur k =  (k > 0).

Vastus. Teise kolmnurga lühem kaatet on  cm ja pikem kaatet  cm.

  • Vasakpoolses kolmnurgas on üks kaatet teisest 71 ühiku võrra suurem ja hüpotenuusist 2 ühiku võrra väiksem.
  • Parempoolses kolmnurgas on üks kaatet hüpotenuusist 67 ühiku võrra väiksem ja kaatetid erinevad 59 ühiku  võrra.
  • a
  • a + 67
  • a + 73
  • a + 71
  • a – 2
  • 12°
  • 58°
  • 68°
  • 78°
Seotud sisu
Muud tegevused

Valemid peavad olema peas! 

1) Kolmnurga nurkade summa on  °.

2) Pool kaatetite korrutisest on kolmnurga .

3) Kaatetite suhe on 

4) Kaatetite ruutude  on hüpotenuusi ruut.

5) Nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe on 

6) Nurga lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe on 

  • 1)
  • 2)
  • 3)
  • 4)
  • 5)
  • 6)

  sin  α = a c  

  cos  α = b c  

  tan  α = b c  

  S = ah 2  

 α + β + γ = 180° 

 a² + b² = c² 

Seotud sisu
Muud tegevused