Põhinurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused

Nurgad 0°, 30°, 45°, 60° ja 90°
Põhinurkade väärtused

0° ja 90° nurga trigonomeetrilised funktsioonid

Hüpotenuus on konstrueeritud ringjoone raadiusele, seega jääb hüpotenuus muutumatuks, aga muutuvad kaatetid

Kui nurk läheneb nullile nii, et hüpotenuus jääb muutumatuks, siis läheneb vastaskaatet a samuti nullile, lähiskaatet b aga hüpotenuusile c.

Nurkade 0° ja 90° trigonomeetriliste funktsioonide väärtused

sin 0° = 0, cos 0° = 1

sin 90° = 1, cos 90°= 0

tan 0°= 0 ja cot 90° = 0

0° nurga trigonomeetrilised funktsioonid

$sin 0 ° = \frac{0}{c} = 0,$
$cos 0 ° = \frac{c}{c} = 1,$
$tan 0 ° = \frac{sin 0 °}{cos 0 °} = \frac{0}{1} = 0 .$

Et 90° nurk on 0° nurga täiendusnurk, siis

$sin 90 ° = cos 0 ° = 1,$
$cos 90 ° = sin 0 ° = 0,$
$cot 90 ° = tan 0 ° = 0 .$

Seotud sisu

30° ja 60° nurga trigonomeetrilised funktsioonid

Võrdkülgse kolmnurga jaotamine kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks

Vaatleme võrdkülgset kolmnurka küljega c. Selle kolmnurga kõik sisenurgad on võrdsed 60°. Kui jaotame kolmnurga tipust tõmmatud kõrgusega (mis on ühtlasi nurga- ja küljepoolitaja) kaheks võrdseks osaks, siis saame täisnurksed kolmnurgad, mille teravnurgad on 30° ja 60°.

Kasutades nurkade trigonomeetrilisi funktsioone ja Pythagorase teoreemi, saame nurkade 30° ja 60° trigonomeetriliste funktsioonide väärtused

sin 30° = $\frac{1}{2},$ cos 30° = $\frac{\sqrt{3}}{2},$

sin 60° = $\frac{\sqrt{3}}{2},$ cos 60° = $\frac{1}{2},$

tan 30° = $\frac{\sqrt{3}}{3},$ tan 60° = $\sqrt{3} .$

Nurga 30° vastaskaatetiks on pool võrdkülgse kolmnurga külge $a = \frac{c}{2} .$ Lähiskaatetiks on kõrgus h ning Pythagorase teoreemi põhjal leiame

$h = \sqrt{c^{2} - {(\frac{c}{2})}^{2}} =$ $\sqrt{3 c^{2} 4} = \frac{\sqrt{3}}{2} c .$

Järelikult, 30° nurga trigonomeetrilised funktsioonid on

$sin 30 ° = \frac{a}{c} = \frac{1}{2},$

$cos 30 ° = \frac{h}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2},$

$tan 30 ° = \frac{sin 30 °}{cos 30 °} =$ $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3},$

$cot 30 ° = \frac{1}{tan 30 °} = \sqrt{3} .$

Et nurk 60° on 30° nurga täiendusnurk, siis

$sin 60 ° = cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2},$
$cos 60 ° = sin 30 ° = \frac{1}{2},$
$tan 60 ° = cot 30 ° = \sqrt{3},$
$cot 60 ° = tan 30 ° = \frac{1}{\sqrt{3}} .$

√3
1
0

sin 60°+ cos 30° =
2sin 30° + 4cos 60° – 2 cos 0° =
tan 60° + tan 0° =
3tan 30° – 2sin 60° =
$\sqrt{3}$  cos 30° – sin 30° =
sin 60° · cos 90° · sin 30° =

Seotud sisu

45° nurga trigonomeetrilised funktsioonid

Võrdhaarne täisnurkne kolmnurk on pool ruudust. Hüpotenuus on sellel juhul ruudu diagonaal

Vaatleme võrdhaarset täisnurkset kolmnurka.

Täisnurksel võrdhaarsel kolmnurgal on alusnurgad võrdsed. Pythagorase teoreemi kasutades saame nurga 45° trigonomeetriliste funktsioonide väärtused

sin 45° = cos 45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

tan 45° = 1.

Kui täisnurkse kolmnurga teravnurk on 45°, siis on tegemist võrdhaarse täisnurkse kolmnurgaga. Pythagorase teoreemi kohaselt

$c = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2} .$

$sin 45 ° = cos 45 ° =$ $\frac{a}{c} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2},$
$tan 45 ° = cot 45 ° = 1 .$

2
√2
1
0

sin 45° + cos 45° =
sin 45° + cos 45° – $\sqrt{2} tan 45 ° =$
$\frac{\sin 45 ° - \cos 45 °}{\sin 45 ° + \cos 45 °}$ =
tan 45° ⋅ $\frac{\sin 45 °}{\cos 45 °}$ =
8 cos 60° · sin 30° · sin 45° =

Märka

α	sin α	cos α	tan α	cot α
0°	$\frac{\sqrt{0}}{2} = 0$	$1$	$0$	väärtus puudub
30°	$\frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{3}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
90°	$\frac{\sqrt{4}}{2} = 1$	$0$	väärtus puudub	$0$

Märka

Esimest veergu on väga lihtne meelde jätta kujul

$\frac{\sqrt{k}}{2},$

kus k täisarvuline väärtus muutub nullist neljani: k = 0, 1, 2, 3, 4.

Seotud sisu

Tõkestatud ja tõkestamata funktsioonid

Ülalt tõkestatud funktsioonid

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus alati pikem mõlemast kaatetist. Seega on funktsioonid siinus ja koosinus ülalt tõkestatud, st

sin α ≤ 1, cos α ≤ 1.

Võrduse saame vaid juhul, kui nurk on 90° või 0° ning kolmnurga üks kaatet on null, teine aga võrdne hüpotenuusiga.

Tõkestamatult kasvavad funktsioonid

Vaatame tangensi väärtusi, kui nurk a läheneb täisnurgale 90°.

$tan α = \frac{sin α}{cos α}$

Sel juhul läheneb lugeja väärtus 1-le ja nimetaja 0-le.

Mida väiksem on aga nimetaja, seda suurem on murru väärtus. Seega, kui nurk α läheneb täisnurgale, kasvavad tangensi väärtused kui tahes suureks.

Kui teravnurk läheneb kasvades täisnurgale, siis kasvab tangens tõkestamatult.

Kui nurk kahaneb nullini, siis kasvab kootangens tõkestamatult.

Kui teravnurk läheneb kasvades täisnurgale, siis kasvab tangens tõkestamatult.

Kui nurk kahaneb nullini, siis kasvab kootangens tõkestamatult.

Seotud sisu

Harjutan ja lahendan

$sin 45 ° + cos 45 ° - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{}}{}$
${(tan 60 ° + cot 30 °)}^{2} =$
$\frac{sin 30 °}{{cos}^{2} 60 °} - tan 45 ° =$
$sin 90 ° + \frac{2 sin 60 °}{cot 30 °} =$

Seotud sisu

Põhiväärtuste tabel

0
1
2
3
√2
√3
–

α	sin α	cos α	tan α	cot α
0°
30°
45°
60°
90°

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Põhinurkade trigono­meetriliste funktsioonide väärtused

Seotud sisu

0° ja 90° nurga trigonomeetrilised funktsioonid

Nurkade 0° ja 90° trigonomeetriliste funktsioonide väärtused

Seotud sisu

30° ja 60° nurga trigonomeetrilised funktsioonid

Seotud sisu

45° nurga trigonomeetrilised funktsioonid

Märka

Märka

Seotud sisu

Tõkestatud ja tõkestamata funktsioonid

Ülalt tõkestatud funktsioonid

Tõkestamatult kasvavad funktsioonid

Seotud sisu

Harjutan ja lahendan

Seotud sisu

Põhiväärtuste tabel

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Põhinurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused