Ruutvõrrand

Mittetäielik ruutvõrrand

Täieliku ruutvõrrandi lahendamine lahendivalemita
Irratsionaalsed lahendid

Tähtis valem

Kaksliikme ruut

Algebraliste teisenduste juures on sageli vaja kasutada kaksliikme ruudu valemeid. Olgu need siinkohal uuesti välja toodud.

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – 2ab + b² = (a – b)²

Kohe näed, et ka ruutvõrrandit lahendades on nimetatud valemitest kasu. Lahenda n-ö soojenduseks järgmine ülesanne, kus ruutkolmliikmest puuduvat arvu polegi alati nii lihtne leida.

x² + 2x + =	(x + )²
x² – 10x + =	(x – )²
4x² + 6x + =	(2x + )²
9x² – 12x + =	(3x + )²
2x² + 3x + =	( $\sqrt{2}$ x + $\sqrt{2}$ )²
3x² – 7x + $\frac{}{}$ =	$\frac{1}{12}$ (x – )²

Seotud sisu

Mittetäielik ruutvõrrand

Ruutvõrrand

Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis pärast teisendamist ja lihtsustamist saab kuju

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0,

kus a, b ja c on reaalarvud, x on tundmatu.

Lineaarliikmeta ruutvõrrand

Kui b = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga

ax² + c = 0.

Vabaliikmeta ruutvõrrand

Kui c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga

ax² + bx = 0.

Taandatud ruutvõrrand

Kui ruutvõrrandi liikmed läbi jagada ruutliikme kordajaga a, saame taandatud ruutvõrrandi

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$ ehk

x² + px + q = 0.

Märka

Korrutise nulliga võrdumise tingimus

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on null.

a ⋅ b = o ⇔

a = 0 ∨ b = 0

Näited

Lineaarliikmeta ruutvõrrand ax² + c = 0

Lahendame võrrandi 3x² – 75 = 0.

Lahendus

Taandame võrrandi, jagame kõik liikmed 3-ga.

x² – 25 = 0

Viime vabaliikme võrrandi paremale poolele.

x² = 25

Leiame kaks arvu, mille ruut on 25.

5² = 25
(–5)² = 25

Kontrollimisel selgub, et mõlemad arvud rahuldavad algvõrrandit.

Vastus

Võrrandi lahendid on x₁ = 5 ja x₂ = –5.

Vabaliikmeta ruutvõrrand ax² + bx = 0

Lahendame võrrandi 2a² + 5a = 0.

Lahendus

Toome ühise teguri a sulgude ette. Saame korrutise, mis on võrdne nulliga.

a(2a + 5) = 0

Kasutame korrutise nulliga võrdumise tingimust.

Kui esimene tegur on null, siis a = 0, mis ongi esimeseks lahendiks.

Kui teine tegur on null, siis 2a + 5 = 0, millest saame teise lahendi.
2a = –5
a = –2,5

Kontrollimisel selgub, et mõlemad lahendid sobivad.

Vastus

Võrrandi lahendid on a₁ = 0 ja a₂ = –2,5.

Lahendamine üldjuhul

Kui c = 0, siis ruutvõrrand saab kuju
ax² + bx = 0.
1. Tegurdame vasaku poole ja saame nulliga võrduva korrutise:
  x(ax + b ) = 0.
2. Võrrandi lahendid on
  x₁ = 0 ja x₂ = $- \frac{b}{a}$ .
Kui b = 0, siis ruutvõrrand saab kuju
ax² + c = 0.
1. Avaldame tundmatu ruudu:
  $x^{2} = - \frac{c}{a}$ = d.
2. Lahendite arv:
  - kui d > 0, siis on võrrandil kaks erinevat lahendit
    $x = \pm \sqrt{d}$ ;
  - kui d < 0, siis võrrandil lahendid puuduvad.

Märka

on alati kaks erinevat lahendit.
on lahendid teineteise vastandarvud, kui c < 0.
võivad lahendid puududa.
on lahendid teineteise vastandarvud, kui c > 0.
on üks lahend alati null.
võivad mõlemad lahendid olla nullid.

on alati kaks erinevat lahendit.
on üks lahend positiivne, kui b < 0.
on lahendid teineteise vastandarvud.
võivad lahendid puududa.
on üks lahend negatiivne, kui b > 0.
on üks lahend alati null.
võivad mõlemad lahendid olla nullid.

Seotud sisu

Täielik ruutvõrrand

Lahendamine ilma valemita

Täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks kasutatakse üldjuhul lahendivalemit. Valem pole aga iseenesest tekkinud, vaid saadud kindlate algebraliste teisenduste tulemusena. Vaata näiteid ja lahenda nende eeskujul ruutvõrrandeid. Esmapilgul võib selline lahendusviis tunduda tülikas.

Märka

Kui (a + b)² = c², siis

a + b = –c

a + b = c

Näited valemita lahendamise kohta

Näide 1

Lahendame võrrandi x² + 3x – 10 = 0.

Lahendus

Viime vabaliikme paremale poole.

x² + 3x = 10

Lisame vasakule poole ühe arvu nii, et see teisenduks kaksliikme ruuduks.

vp: x² + 3x + 1,5²= (x + 1,5)²

Lisame sama arvu paremale poole, et saada esialgsega samaväärne võrrand.

(x + 1,5)² = 10 + 1,5²
(x + 1,5)² = 12,25

Leiame arvud, mille ruut on 12,25.

3,5² = 12,25

(–3,5)² = 12,25

Lahendame kaks võrrandit ja saame nii antud ruutvõrrandi lahendid.

x + 1,5 = 3,5
x₁= 2

x + 1,5 = –3,5
x₂ = –5

Kontrolli lahendite sobivust!

Vastus

Ruutvõrrandi lahendid on x₁ = –5 ja x₂ = 2.

Näide 2

Lahendame võrrandi 8x² + 6x – 35 = 0.

Lahendus

Viime vabaliikme paremale poole.

8x² + 6x = 35

Jagame (või korrutame) võrrandi liikmed 2-ga, et ruutliikme kordaja oleks täisarvu ruut (korrutamisel a = 4x).

4x² + 3x = 17,5

Lisame vasakule poole ühe arvu nii, et see teisenduks kaksliikme ruuduks.

vp: (2x)² + 3x + 0,75²= (2x + 0,75)²

Lisame sama arvu paremale poole, et saada esialgsega samaväärne võrrand.

(2x + 0,75)² = 17,5 + 0,75²
(2x + 0,75)² = 18,0625

Leiame arvud, mille ruut on 18,0625.

(–4,25)² = 18,0625

4,25² = 18,0625

Lahendame kaks võrrandit ja saame nii antud ruutvõrrandi lahendid.

2x + 0,75 = –4,25
x₁= –2,5

2x + 0,75 = 4,25
x₂ = 1,75

Kontrolli lahendite sobivust!

Vastus

Ruutvõrrandi lahendid on x₁ = –2,5 ja x₂ = 1,75.

(x – 3)² = 4
x₁ = ja x₂ =
(x + 12)² = 121
x₁ = ja x₂ =
(x + 19)² – 36 = 0
x₁ = ja x₂ =
(5x – 1)² = 6,25
x₁ = ja x₂ =
(4x – 5)² = 2025
x₁ = ja x₂ =

Seotud sisu

Irratsionaalsed lahendid

Alati ei ole ruutvõrrandi lahendid ratsionaalarvud. Kui tegemist on elulise ülesandega, võib rahule jääda ka ligikaudse vastusega. Tihti on aga lihtsam esitada tulemus täpse arvuna, st jätta ruutjuured välja arvutamata. Seda eriti siis, kui kalkulaatorit pole käepärast.

Märka

Kui (a + b)² = c (c > 0), siis

a + b = – $\sqrt{c}$

a + b = $\sqrt{c}$

Näide 3

Lahendame võrrandi

x² – 2x – 7 = 0.

Lahendus

Viime vabaliikme paremale poole.

x² – 2x = 7

Lisame mõlemale poole ühe ja sama arvu nii, et vasak pool teiseneks kaksliikme ruuduks.

x² – 2x + 1 = 7 + 1
(x – 1)² = 8

Leiame arvud, mille ruut on 8.

${(- 2 \sqrt{2})}^{2} = 8$

${(2 \sqrt{2})}^{2} = 8$

Lahendame kaks võrrandit ja saame nii antud ruutvõrrandi lahendid.

x– 1 = – $2 \sqrt{2}$
x₁= 1 – $2 \sqrt{2}$

x – 1 = $2 \sqrt{2}$
x₂ = 1 + $2 \sqrt{2}$

Kontrolli lahendite õigsust!

Vastus

Võrrandi lahendid on x₁= 1 – $2 \sqrt{2}$ ja x₂ = 1 + $2 \sqrt{2}$ .

1) Võrrandi x² – 7 = 0 lahendid on

7
∅
$\sqrt{7}$
–7
0
$- \sqrt{7}$

2) Võrrandi 2x² = 100 lahendid on

$2 \sqrt{7}$
10
$5 \sqrt{2}$
∅
–10
$- 5 \sqrt{2}$

3) Võrrandi 2x² + 18 = 0 lahendid on

3
0
$\sqrt{18}$
∅
–3
$- \sqrt{18}$

1) Võrrandi (x + 4)² = 3 lahendid on

$4 - \sqrt{3}$
$4 + \sqrt{3}$
−1
$\sqrt{3} - 4$
$- \sqrt{3} - 4$
1

2) Võrrandi (2x – 4)² = 12 lahendid on

∅
$2 + \sqrt{3}$
$2 - \sqrt{3}$
−1
$2 \sqrt{3} + 4$
$-2 \sqrt{3} + 4$

3) Võrrandi (6 – x)² = 5 lahendid on

$6 - \sqrt{5}$
∅
1
$\sqrt{5} - 6$
$6 + \sqrt{5}$
$- 6 + \sqrt{5}$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$\frac{x^{2}}{5} = 500$
x₁ =
x₂ =
$\frac{4 x^{2}}{3} = 48$
x₁ =
x₂ =
$\frac{5}{x} = \frac{x}{45}$
x₁ =
x₂ =

x² – 7x = 0

5x² = 4,5x

$\frac{x}{5} + \frac{2 x^{2}}{3} = 0$

Kõikide võrrandite ühine lahend on
x = .
Teised lahendid märgi ära hulgas A.

–15
–7
–5
–0,9
–0,3
0,3
0,9
5
7
15

Millise arvuhulga osahulk on hulk A?

A ⊂ ℝ
A ⊂ ℚ
A ⊂ ℤ
A ⊂ ℕ

Võrrandi (3 – x)(3 + x) = 0 lahendite summa on .
Võrrandi (x + 5)(1 – 2x) = 0 lahendite summa on .
Võrrandi x(2x – 5) = 0 lahendite summa on .

1) 3x(x – 3)(3 – x) = 0
x =

3
−3
1
−1
$\sqrt{3}$
0
$- \sqrt{3}$

2) (2y – 1)(y – 2)(2 + y) = 0,
y =

−1
1
−0,5
0,5
−2
2

3) 5a(5a + 1)(5 + a)(a – 5) = 0,
a =

0
0,2
−5
5
1
−0,2

Lahenda võrrand x² + 2x – 35 = 0.

Teisenda vasak pool kaksliikme ruuduks.
(x + )² = 35 +
Leia lahendid.
x₁ =
x₂=

Lahenda võrrand x² – 3x – 18 = 0.

Teisenda vasak pool kaksliikme ruuduks.
(x – )² = 18 +
Leia lahendid.
x₁ =
x₂=

Lahenda võrrand 3x² – 2x – 1 = 0.

Korruta võrrandi liikmed 3-ga ja teisenda vasak pool kaksliikme ruuduks.
(3x – )² = 3 +
Märgi lahendid.

–1
$- \frac{2}{3}$
$- \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$
1
3

Lahenda võrrand x² – 6x + 7 = 0.

Teisenda võrrandi vasak pool kaksliikme ruuduks.
(x – )² = –7 +
Esimene lahend saadakse võrrandist
x – = .
Teine lahend saadakse võrrandist
x – = .
Võrrandi lahendite summa on .
Võrrandi lahendite korrutis on .

Lahenda võrrand x² + 2x – 5 = 0.

Teisenda võrrandi vasak pool kaksliikme ruuduks.
(x +)² = 5 +
Esimene lahend saadakse võrrandist
x + =.
Teine lahend saadakse võrrandist
x + = .
Võrrandi lahendite summa on .
Võrrandi lahendite korrutis on .

Lahenda võrrand 2x² – 6x + 3 = 0.

Teisenda võrrandi vasak pool kaksliikme ruuduks.
(2x –)² = –6 +
Esimene lahend saadakse võrrandist
2x – =.
Teine lahend saadakse võrrandist
2x – = .
Võrrandi lahendite summa on .
Võrrandi lahendite korrutis on .

Vihje

Korruta kõigepealt võrrandi liikmed 2-ga, et oleks lihtsam kaksliikme ruudu valemit moodustada.

Seotud sisu

Jäta meelde

Kui b = 0

Kui c = 0

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Ruutvõrrand

Seotud sisu

Tähtis valem

Kaksliikme ruut

Seotud sisu

Mittetäielik ruutvõrrand

Ruutvõrrand

Lineaarliikmeta ruutvõrrand

Vabaliikmeta ruutvõrrand

Taandatud ruutvõrrand

Märka

Korrutise nulliga võrdumise tingimus

Näited

Lineaarliikmeta ruutvõrrand ax2 + c = 0

Lahendus

Vastus

Vabaliikmeta ruutvõrrand ax2 + bx = 0

Lahendus

Vastus

Lahendamine üldjuhul

Märka

Seotud sisu

Täielik ruutvõrrand

Lahendamine ilma valemita

Märka

Näited valemita lahendamise kohta

Näide 1

Lahendus

Vastus

Näide 2

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Irratsionaalsed lahendid

Märka

Näide 3

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vihje

Seotud sisu

Jäta meelde

Kui b = 0

Kui c = 0

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Lineaarliikmeta ruutvõrrand ax² + c = 0

Vabaliikmeta ruutvõrrand ax² + bx = 0