Võrrandite samaväärsus. Võrrandite teisendamine

Samaväärsed võrrandid
Võrduse omadused

Seotud sisu

Samaväärsed võrrandid

Samaväärsus

Kaks võrrandit on samaväärsed ehk ekvivalentsed, kui nende lahendihulk on sama.

Märka

Võrrandite samaväärsust tähistame ekvivalentsusmärgiga

$\Leftrightarrow$

Näited

Samaväärsed võrrandid

(3x – 1)(x + 2) = 0
ja
3x² + 5x = 2

on samaväärsed:

(3x – 1)(x + 2) = 0 ⇔ 3x² + 5x = 2,

sest neil on samad lahendid

x₁ = –2 ja x₂ = $\frac{1}{3}$ .

Pole samaväärsed

Võrrandid

y² = 1 ja

y – 1 = 0

pole samaväärsed. Esimesel on kaks lahendit

y₁ = –1 ja y₂ = 1 ,

teisel võrrandil on vaid üks lahend

y = 1.

⇔
⇎

(x – 3)² = x – 3 x – 3 = 1
(x – 1)² = x – 1 x² – 3x + 2 = 0
(x – 1)² = (x – 1)(x + 1) –2x = –2

Seotud sisu

Teisendused

Võrduse omadused

Poolte vahetus

Võrduse pooli võib vahetada.

(a = b) ⇔ (b = a)

Avaldise lisamine

Võrduse mõlemale poolele võib liita sama arvu või sama avaldise.

(a = b) ⇔ (a + c = b + c)

Korrutamine ja jagamine

Võrduse mõlemat poolt võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvu või avaldisega.

(a = b) ⇔ (ca = cb)

(a = b) ⇔ $(\frac{a}{c} = \frac{b}{c})$ , c ≠ 0

Märka

Võrduse liikmeid võib viia teisele poole võrdusmärki, kui muuta ülekantava liikme ees märk vastupidiseks.

Näited

Lahendite kadumine

Võrrandit lihtsustades ei tohi teha selliseid teisendusi, mille tõttu mõni esialgse võrrandi lahend läheb kaduma, st uuel võrrandil sellist lahendit pole.

Lahendame võrrandi (z – 1)(z + 2)= z – 1.

Esimene lahendus

Võrduse omadus lubab võrrandi pooled jagada (z – 1)-ga.

Saame võrrandi z + 2 = 1, mille lahend on z = –1.

Teine lahendus

Avame sulud ja saame ruutvõrrandi

z² = 1,

mille lahenditeks on z₁ = 1 ja z₂ = –1.

Järelikult kaotasime lahendi z₁ = 1 selle tõttu, et jagasime võrrandi mõlemad pooled (z – 1)-ga.

Võõrlahend

Võrrandit lahendades võib kasutada teisendust, mille puhul uuel võrrandil on kõik esialgse võrrandi lahendid, kuid võivad lisanduda ka uued, nn võõrlahendid.

Lahendame võrrandi

$\sqrt{2 x + 11} = x + 4 .$

Ruutjuurest vabanemiseks tõstame võrduse mõlemad pooled ruutu. Uus võrrand on

2x + 11 = x² + 8x + 16,

mille lahenditeks on

x₁ = –5 ja x₂ = –1.

Kontroll näitab, et x₁ = –5 ei rahulda esialgset võrrandit, sest saame väära võrduse

1 = –1.

Teine lahend x₂ = –1 rahuldab esialgset võrrandit ja on seega antud võrrandi ainuke lahend.

Korrutamine nulliga

Miks võrduse mõlemat poolt ei tohi korrutada nulliga?

Kui korrutame võrduse

y = 2

mõlemat poolt nulliga, saame samasuse

0 ⋅ y = 0,

mille lahendiks on mis tahes reaalarv.

Järelikult pole saadud võrdus samaväärne esialgsega.

Kui aga korrutame mõlemad pooled näiteks y-ga, mis muutub nulliks, kui y = 0, saame ruutvõrrandi

y² = 2y,

millel on lisaks esialgse võrrandi lahendile y = 2 veel üks lahend y = 0. Võrrandid pole samaväärsed.

Jagamine nulliga

Miks võrduse mõlemat poolt ei tohi jagada nulliga?

Võrrandist

4(x – 1) = 0

järeldub, et

x – 1 = 0,

ja selle võrrandi lahendiks on x = 1.

Lisame esialgse võrrandi mõlemale poolele (x – 1) ja saame samaväärse võrrandi

5(x – 1) = x – 1.

Kui nüüd jagada võrduse mõlemad pooled (x – 1)-ga (mis tegelikult võrdub nulliga, sest x = 1), saame väära võrduse

5 = 1,

mis näitab, et selline teisendus on lubamatu.

Võrduse mõlemale poolele võib liita ühe ja sama arvu, võrdus jääb tõeseks.

Võrduse mõlemat poolt võib korrutada ühe ja sama arvuga, võrdus jääb tõeseks.

Võrduse pooli ei saa vahetada, võrdus kaotab tõesuse.

Millisel võrrandil lahendid puuduvad?

$4 x - 2 = 4$
$4 x - 2 = 4 x$
$4 x - 2 = 2 (2 x - 1)$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Pöördtehted

Kui 3 + m = 5, siis 5 – 3 = m.

Kui 6a – 4b = 7, siis 7 – 4b = 6a.

Kui (2x + 1)² – 5 = 3x²,
siis 3x² + 5x = (2x + 1)².

Kui 8m³ – 3m = m²,
siis 8m³ = 3m – m².

Kui 6a = 12, siis $\frac{12}{6} = a$ .

Kui 2(3a + 1) = 7,
siis $\frac{7}{2} = 3 a + 1$ .

Kui $\frac{2 a - 6}{4} = a - 1,$
siis 2a – 6 = 4(a – 1).

Kui $\frac{5 - x}{x + 1} = 4,$
siis x + 1 = 4(5 – x).

Kui x ² = 16, siis x = $\pm \sqrt{16} .$

Kui (x – 1)² = 11 + x,
siis $x - 1 = \sqrt{11 + x} .$

Kui $\sqrt{x + 5} = 3,$
siis x² + 5² = 3².

Kui $\sqrt{4 x - 1} = x,$
siis $4 x - 1 = \sqrt{x} .$

Muutuja leidmine

$3 : (\frac{\frac{3}{5} x + 8}{20} + 9) = \frac{3}{10}$
x =
$\frac{3 \frac{4}{15}}{(5,5 + x) : 21 \frac{3}{7}} - 1 \frac{7}{8} = 5,125$
x =

$\frac{(11 - 9 \frac{1}{2}) : 0,003}{(4,05 - y) \cdot 41 \frac{2}{3}} = 30$
y =
$\frac{(1,5 + 2 \frac{2}{3} + 3,75) \cdot 3,6}{14 - 15 \frac{1}{8} : y} = 4$
y =

$(\sqrt{2 k} - 3,2) [(4 \frac{1}{3} - 2 \frac{5}{6}) \cdot \frac{5}{9}] = 4$
k =
$\frac{2 \cdot (- 2) + 15 - (- 13)}{(3 \frac{1}{5} \cdot 4 \frac{11}{16}) k^{2}} = \frac{2}{5}$
k₁ = , k₂ =

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Võrrandite samaväärsus. Võrrandite teisendamine

Seotud sisu

Samaväärsed võrrandid

Samaväärsus

Märka

Näited

Samaväärsed võrrandid

Pole samaväärsed

Seotud sisu

Teisendused

Võrduse omadused

Poolte vahetus

Avaldise lisamine

Korrutamine ja jagamine

Märka

Näited

Lahendite kadumine

Esimene lahendus

Teine lahendus

Võõrlahend

Korrutamine nulliga

Jagamine nulliga

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Pöördtehted

Muutuja leidmine

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid