Aritmeetilise jada esimese n liikme summa

Jada liikmete summa

Jada summa

Jada liikmete liitmine

Valemi tuletus

Uuri skeemi ja tuleta reegel aritmeetilise jada n liikme liitmiseks. Kaks lahendust on järgmisel kahel slaidil.

Näeme, et summa S_n sisaldab n korda esimest liiget a₁ ja ülejäänud osa moodustavad jada vahed d astmelise kolmnurga kujul.

Selgitus 1

Täisnurkne kolmnurk kaatetitega (n – 1)d külge sisaldab $\frac{1}{2} {(n - 1)}^{2}$ vahet d.

Lisada tuleb veel hüpotenuusi kohal olevad (n – 1) poolikut vahet d. Kokku saame

$[\frac{1}{2} {(n - 1)}^{2} + \frac{1}{2} (n - 1)] d =$

$= \frac{1}{2} [{(n - 1)}^{2} + (n - 1)] d =$

$= \frac{1}{2} (n - 1) (n - 1 + 1) d =$

$= \frac{1}{2} n (n - 1) d .$

Seega,

$S_{n} = n a_{1} + \frac{1}{2} n (n - 1) d =$

$= \frac{1}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d] n .$

Kui teha asendus a₁ + (n – 1)d = a_n, saame

$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n .$

Selgitus 2

Vaatleme aritmeetilist jada

a₁; a₂; a₃; ...; a_n; ...,

mille vahe on d ja esimese n liikme summa S_n.

Et summa ei sõltu liidetavate järjekorrast, siis võime S_n kirja panna kahte moodi. Esimesel juhul on jada liikmete indeksid kasvavas, teisel juhul kahanevas järjestuses.

Kui liidame võrduste vastavad pooled, saame vasakul pool kahekordse summa 2S_n. Kuid võrduste paremal pool on kõigi kohakuti olevate liikmete summa üks ja seesama. See tuleneb sellest, et kohakuti olevate liikmete indeksite summa on kõikjal sama ja nimelt (n + 1). Indeksist aga sõltub (vastavalt üldliikme valemile), mitu jada vahet tuleb lisada esimesele liikmele a1, et saada konkreetne liige a_k.

Seega saame võrduse 2S_n = n(a₁ + a_n).

Aritmeetilise jada summa

Aritmeetilise jada esimese n liikme summa on võrdne n-kordse esimese ja viimase liikme poolsummaga.

$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$

$S_{n} = \frac{1}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d] n$

Märka

Valemi võib kirja panna ka kujul

$S_{n} = (a_{1} + a_{n}) \cdot \frac{n}{2}$

või

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2} .$

Näited

Näide 1

Leiame 100st väiksemate paaritute naturaalarvude summa.

Lahendus

Peame leidma summa

1 + 3 + 5 + ... + 95 + 97 + 99.

Paaritud arvud 1st 99ni moodustavad aritmeetilise jada, milles on 50 liiget.
Liidame esimese ja viimase liikme, teise ja eelviimase, kolmanda ja lõpust kolmanda liikme jne.
Saame 25 võrdset summat.

1 + 99 = 100
3 + 97 = 100
...
49 + 51 = 100

Näeme, et kõik summad on võrdsed ja võrduvad 100ga. Seega on otsitav summa

25 ⋅ 100 = 2500.

Vastus

Paaritute 100st väiksemate naturaalarvude summa on 2500.

Leiame kõigi sajast väiksemate paarisnaturaalarvude summa.

Andmed

a₁ =
a_n =
d =
Jada summa Sn = ?

Üldliikme valem
a_n = a₁ + (n – 1)d

Summa valem
$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$

Lahendus

Leiame jada liikmete arvu, kasutades üldliikme valemit.
Siit 98 = 2 + (n – 1) ⋅ 2,
millest n = .
Summa arvutame summa valemi abil.
$S \underset{}{} = \frac{+}{2} \cdot$

Vastus

Sajast väiksemate paarisnaturaalarvude summa on

2500
2450
2550
2400

Antud

a₁ = 5
a_n = –13
d = –3

Lahendus

Lohista valemisse õiged arvud ja leia liikmete arv n.

–13
+1
5
–3
–1
7
8
6

= + (n )()

n =

Jada n liikme summa on

–28
28
63
–32
–24
32

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märka

Ülesannetes nimetame jadadeks ka jadade osi, milles on lõplik arv järjestikuseid liikmeid.

Jada elemendid

Leia jada esimene liige, jada vahe ja määra jada liik, kui antud on suvaline jada liige ja n-liikme summa.

S₅ = –25
a₅ = –5

Arvuta viie liikme summa valemist a₁.
a₁ =
Leia üldliikme valemist jada vahe.

Vastus

d = ja a₁ = . Jada on

S₁₁ = 220
a₅ = 17

Avalda üldliikme a₅ valemist a₁.

a₁ = 4d – 17
a₁ = –4d – 17
a₁ = –4d + 17
a₁ = 2d – 17
a₁ = –2d – 17

Avalda 11 liikme summa valemist a₁.

a₁ = 5d – 20
a₁ = –5d + 20
a₁ = –5d + 5
a₁ = 2d – 20
a₁ = –2d – 5

Leia jada vahe, võrdsustades 1. ja 2. punkti seosest.
Leia jada esimene liige, kasutades jada vahet.

Vastus

d = ja a₁ = . Jada on

Kolm summat

Vaata liidetavaid kui jada liikmeid ja leia summa või summa abil x.

5,4 + 7,5 + 9,6 + 11,7 + ... + 45,3

a₁ =
d =
n =

Vastus

Nende arvude summa on .

2,6 + 6 + 9,4 + 12,8 + ... + 77,4

a₁ =
d =
n =

Vastus

Nende arvude summa on .

(24– x) + (31 – x) + ... + (94 – x) = 616

a₁ =
d =
S_n =
n =

Vastus

x =

Ülesandeid igapäevaelust

Istekohtade arvud ridade kaupa moodustavad aritmeetilise jada.
- a₁ =
- d =
- S_n =
Ridade arvu n saab leida summa valemi järgi koostatud ruutvõrrandist.

8n² + 22n – 1065 = 0
4n² = 1054
4n² + 11n = 1065

Üks lahenditest ei sobi, sest

ridade arv ei saa olla negatiivne.
ridade arv peab olema täisarv.

Vastus

Amﬁteatris on rida.

Kinoklubi kaardiga on iga järgmine kinopilet alates 21. piletist 5 senti odavam kui eelmine, kuid mitte odavam kui 1,5 eurot. 36 õpilasega klass ostab sellise kaardiga piletid. Üksikpileti hind on 6 eurot.

Täishinnaga (6 euroga) ostetakse piletit ja nende eest tuleb tasuda eurot.
Ülejäänud piletid moodustavad aritmeetilise jada, mille esimene liige on 5,95 eurot.
Kõige odavam pilet maksab eurot.
Terve klassi piletid maksavad kokku eurot.
Täishinnaga oleksid piletid maksma läinud eurot. Rahaline võit on eurot.

Vastus

Rahaline võit on ligikaudu protsenti.

Mõõtmiste kogusumma on 72 ühikut. Iga järgmine mõõtmine erineb eelmisest 3,2 ühiku võrra ning esimese mõõtmise tulemus oli 4 ühikut.

a₁ =
d =
S_n =
Leida tuleb

n
S_n
a_n

Otsitava leidmiseks tuleb koostada võrrand aritmeetilise jada valemi järgi.
Teisenda võrrand taandatud kujule.
n²n = 0
Ruutvõrrandi lahenditest vastab vaid üks ülesande tingimustele.

Vastus

Tehtud on mõõtmist.

Langevarjur

Uurime langevarjuri hüpet enne langevarju avanemist (õhutakistust ei arvesta). Vabalt langev keha kukub esimese sekundi jooksul 4,9 m ja igal järgmisel sekundil 9,8 m rohkem kui eelmisel.

Langevarjuri läbitud vahemaad moodustavad aritmeetilise jada, mille esimene liige ja jada vahe on
- a₁ = m,
- d = m.
Leia kaheteistkümnendal sekundil langetud vahemaa ehk jada 12. liige.
a₁₂ = m

Vastus

12. sekundil langeb langevarjur meetrit.

Langevarjuri läbitud vahemaad moodustavad aritmeetilise jada, mille esimene liige ja jada vahe on
- a₁ = m,
- d = m.
Leia jada viies liige (viiendal sekundil langetud vahemaa).
a₅ = m

Vastus

Esimese viie sekundiga langetud vahemaa (S₅) on
meetrit.

Langevarjuri läbitud vahemaad moodustavad aritmeetilise jada, mille esimene liige ja jada vahe on
- a₁ = 4,9 m
- d = 9,8 m.
Otsitava langemisaja leidmiseks kasuta summa valemit
S_n = $\frac{1}{2}$ [2a₁ + (n – 1)d] ⋅ n,
kus n on otsitav aeg sekundites.

9,8
n
490
4,9
2

$\frac{1}{2}$ [ + (n – 1)]⋅ = 

Lahenda koostatud võrrand. Ülesande tingimustega ei sobi lahend

–10
10

Vastus

Langemisaeg on sekundit.

Seotud sisu

Jäta meelde

$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$
$S_{n} = 0,5 n (a_{1} + a_{n})$
$S_{n} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) d}{2} \cdot n$
$S_{n} = 0,5 n [2 a_{1} + (n - 1) d]$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Aritmeetilise jada esimese n liikme summa

Seotud sisu

Jada summa

Jada liikmete liitmine

Valemi tuletus

Selgitus 1

Selgitus 2

Aritmeetilise jada summa

Märka

Näited

Näide 1

Lahendus

Vastus

Andmed

Lahendus

Vastus

Antud

Lahendus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märka

Jada elemendid

Vastus

Vastus

Kolm summat

Vastus

Vastus

Vastus

Ülesandeid igapäevaelust

Vastus

Vastus

Vastus

Langevarjur

Vastus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid