Geomeetriline jada ja selle üldliige

Geomeetrilise jada tegur
Geomeetrilise jada üldliikme valem

Legend

Male

Legend räägib, et ammu aega tagasi tutvustati ühele India valitsejale malemängu. Valitseja oli sellest nii vaimustatud, et lubas mängu leiutajal paluda kui tahes suurt tasu. Kaval leiutaja palus panna 64-ruuduse malelaua esimesele ruudule ühe nisutera, teisele kaks korda rohkem ehk 2 tera, kolmandale veel kaks korda rohkem ehk 4 tera jne.

Kui õukonnateadlane oli vajaliku nisuterade arvu kokku arvutanud, selgus, et kogu maailmas pole nii suurt viljakogust ja leiutaja soovi oli võimatu täita.

Vaatleme lähemalt nisuterade koguseid. Need moodustavad jada

1; 2; 4; 8; 32; ... .

2⁰; 2¹; 2²; 2³; 2⁴; 2⁵; ...

Viimasele ruudule tuleks panna nisuteri

2⁶³
2⁶⁴
2⁶⁵

Kirjuta nisuterade arv standardkujul kahe tüvenumbriga.
Nisuterade arv on
⋅ $10 \overset{}{} .$
Arvuta viimasel ruudul olevate nisuterade mass tonnides, kui üks tera kaalub umbes 50 mg.

Vastus

Nisuterade mass viimasel ruudul on standardkujul
⋅ $10 \overset{}{}$ tonni.

Seotud sisu

Geomeetrilise jada üldliige

Geomeetriline jada

Jada, mille iga järgmine liige saadakse eelmisest ühe ja sama konstantse kordajaga korrutades, nimetatakse geomeetriliseks jadaks.

Konstantset arvu, millega tuleb eelmist liiget korrutada, nimetatakse geomeetrilise jada teguriks q.

Märka

a_n₊₁ = a_n ⋅ q

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q$

n ∈ ℕ

Jada üldliige

Valemi tuletus

Vaatleme geomeetrilist jada

{a_n}: a₁; a₂; a₃; ...; a_n; ...,

mille tegur on q. Vastavalt deﬁnitsioonile on jada liikmeteks

Järeldus

Üldliikme valemist järeldub, et kahe geomeetrilise jada liikme a_k ja a_l suhe on alati võrdne jada teguri astmega, milles astendajaks on indeksite vahe.

$\frac{a_{k}}{a_{l}} = q^{k - l}$

Tõepoolest,

a_k = a₁ ⋅ q^k^–1
ja
a_l = a₁⋅ q^l^–1.

Seega,

$\frac{a_{k}}{a_{l}} = \frac{a_{1} \cdot q^{k - 1}}{a_{1} \cdot q^{l - 1}} = q^{k - 1 - l + 1} = q^{k - l} .$

Üldliikme valem

a_n = a₁ ⋅ qⁿ^–1

a₁	a₂	a₃	a₄
5	10
		–9	3
0,025			1,6
–40,96		–64	80

Mõtle kaasa

3
–1,5
0,5
–0,5
0,75
–0,375

a₁ =

a₂ =

q = a₂ : a₁ =

Üldliige a_n = ⋅ ()^n–1

Koostame jada üldliikme valemi järgi võrrandisüsteemi.

$\{\begin{array}{r} a_{6} = a_{1} \cdot q \overset{}{} = & 486 \\ a_{3} = a_{1} \cdot q \overset{}{} = & 18 \end{array}$

Kasutame jagamisvõtet, et taandada esimene liige a₁.
Saame võrrandi
q³= , millest
q =

Üldliikme valemi järelduse põhjal on jada kaheksanda ja kuuenda liikme jagatis võrdne jada teguri ruuduga.

a₈ : a₆ = q^8–6 = q²

Järelikult a₈ = a₆ ⋅ q².
a₈ =

Vastus

Jada tegur on ja kaheksas liige 4374.

Moodustame seose
$\frac{a_{3}}{a_{2}} = \frac{a_{2}}{a_{1}} = q$
järgi võrde.

2x
x + 1
3x + 1

$-$

$=$

$-$

Kui rakendame võrde põhiomadust, avame sulud ja koondame, saame ruutvõrrandi

x² – 4x – 1 = 0.

Ruutvõrrandi lahendid on

2 + $\sqrt{3}$
2 + $\sqrt{5}$
4 + $\sqrt{5}$
2 – $\sqrt{5}$
2 – $\sqrt{3}$
4 – $\sqrt{5}$

Vastus

Ruutvõrrandi lahendid ongi otsitavad muutuja x väärtused.

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märka

Ülesannetes nimetame jadadeks ka jadade osi, milles on lõplik arv järjestikuseid liikmeid.

On/ ei ole geomeetriline jada

1. jada 2,6; 5,2; 10,4; 20,8; 41,6; ...

on geomeetriline jada teguriga 2.
on geomeetriline jada teguriga 0,5.
on geomeetriline jada teguriga 2,6.
ei ole geomeetriline jada.

2. jada: 2; $2 \sqrt{3}$ ; 6; $6 \sqrt{3}$ ; 18; ...

on geomeetriline jada teguriga 2.
on geomeetriline jada teguriga $\sqrt{3} .$
on geomeetriline jada teguriga $2 \sqrt{3} .$
ei ole geomeetriline jada.

3. jada: –3,05; 12,2; –48,08; 195,2; –789,08; ...

on geomeetriline jada teguriga 4.
on geomeetriline jada teguriga –4.
on geomeetriline jada teguriga –0,25.
ei ole geomeetriline jada.

1. jada $\sqrt{2}; \sqrt{3}; \sqrt{4}; \sqrt{5}; \sqrt{6};$ ...

on geomeetriline jada teguriga $\sqrt{2} .$
on geomeetriline jada teguriga $\sqrt{3} .$
on geomeetriline jada teguriga $\frac{\sqrt{2}}{3} .$
ei ole geomeetriline jada.

2. jada 3; $- \sqrt{3}$ ; 1; $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ ; $\frac{1}{3}$ ; ...

on geomeetriline jada teguriga $- \sqrt{3} .$
on geomeetriline jada teguriga $\sqrt{3} .$
on geomeetriline jada teguriga $- \frac{1}{\sqrt{3}} .$
ei ole geomeetriline jada.

3. jada $\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{4}; - \frac{3}{8}; - \frac{3 \sqrt{3}}{16}; \frac{9}{32};$ ...

on geomeetriline jada teguriga $\frac{\sqrt{3}}{2} .$
on geomeetriline jada teguriga $- \frac{\sqrt{3}}{2} .$
on geomeetriline jada teguriga $- \frac{2}{\sqrt{3}} .$
ei ole geomeetriline jada.

Kümnes liige

Leia avaldis jada kümnenda liikme arvutamiseks.

Jada liikmed on 5; 15; 45; ...

a₁₀ =

$3 \cdot 5^{9}$
$3 \cdot 5^{10}$
$5 \cdot 3^{9}$
$5 \cdot 3^{10}$

Jada liikmed on –0,4; 2; –10; ...

a₁₀ =

$2 \cdot 5^{8}$
$2 \cdot 5^{9}$
$- 2 \cdot 5^{9}$
$- 0,4 \cdot 5^{9}$
$0,4 \cdot 5^{10}$
$0,4 \cdot {(- 5)}^{9}$

Jada liikmed on 256; –128; 64; ...

a₁₀ =⋅

$256 \cdot {(- 2)}^{9}$
$256 \cdot {(- 0, 5)}^{9}$
–1⋅2
–1⋅0,5
$256 \cdot 0, 5^{9}$
$2 \cdot 0, 5^{10}$

Jada liikmed on 4^–2; 4^–3; 4^–4; ...

a₁₀ =

4 · 0,25⁹
4 · 4^–9
4 · 0,25¹⁰
4^–11
4^–10
4^–9

Puuduvad liikmed

Leia antud arvude hulgast jada puuduvad liikmed nii, et tekiks geomeetriline jada.

6
18
54
162
–18
–54
4,5
–486
36
144
72

2; ; ; ; ; 486
–6; ; ; –162;
9; ; ; –72; ; –288
288; ; ; ; 1,125

2,1
1,1
1,05
1
1,5
2,25
3
0,75
3,6
3,5
4,32
4,5
5,184

4,2; ; ; 0,525
$\frac{2}{3}$ ; ; ; ; 3,375
12; ; ; $\frac{3}{16}$
3; ; ; ; $\frac{3888}{625}$

$a_{4}$
$a_{5}$
$a_{6}$
$a_{7}$
$a_{8}$
$a_{9}$
$a_{10}$
$a_{11}$

jada 3; 6; 12; ...
= 192
jada 96; 48; 24; ...
= 3
jada –1,6; 4,8; –14,4; ...
= –1166,4
jada 6,4; 3,2; 1,6; ...
= 0,05
jada $\frac{1}{7}; - \frac{2}{21}; \frac{4}{63}$ ; ...
= $\frac{64}{5103}$
jada $\frac{5}{6}; \frac{5}{9}; \frac{10}{27}$ ; ...
= $\frac{40}{243}$

Muutujad jadas

Nõuanne

Koosta jada üldliikme valemi järgi võrrand ja lahenda see.

Geomeetrilise jada tegur on (x – 1), esimene liige on 0,5 ja viies liige 40,5.
q =
x =
Geomeetrilise jada tegur on (x² – 13), esimene liige on 0,25 ja neljas liige –432.
q =
x =

5
–5
1
–1
2
–2
3
–3

Nõuanne

Koosta võrdekujuline võrrand, teades, et kahe järjestikuse jada liikme jagatis on konstantne.

Vastus

y = ja jada tegur on

2
–2
3
–3
$\frac{2}{3}$
– $\frac{2}{3}$
$\frac{3}{2}$
– $\frac{3}{2}$

Tõestamine

Tõesta, et geomeetrilise jada iga liige

a_k (k > 1) on oma naaberliikmete

a_k_–1 ja a_k₊₁

geomeetriline keskmine.

Sepp		Arst
Mitmes	Boonus	Mitmes	Boonus
1	800	1	–
2	936	2	600
3	1095	3	672
4	1281	4	753
5	1499	5	843
6	1754	6	944

Boonuste süsteem põhineb jadal.

mängija Sepp

a_n = 800 · 0,17^n–1
a_n = 800 · 1,17^n–1
a_n = 800 + (n – 1) · 1,17
a_n = 800 + (n – 1) · 136
a_n = 800 · 0,85^n–1

mängija Arst

a_n = 600 + (n – 1) · 72
a_n = 600 · 0,89^{n –1}
a_n = 600 · 1,12^n–1
a_n = 600 + (n – 1) · 1,12
a_n = 600 · 0,12^n–1

Suuremaks ja vähemaks

Elanike arvud järjestikuste aastate lõpus moodustavad geomeetrilise jada.

3,5
4
0,035
1,035
0,965
7500

a₁ =

q =

Leida tuleb jada liige.

Vastus

Nelja aasta pärast on väikelinnas elanikku.

Elanike arvud järjestikuste aastate lõpus moodustavad geomeetrilise jada.

3
4
0,035
1,035
0,965
7500

a₁ =

q =

Leida tuleb jada liige.

Vastus

Nelja aasta pärast on väikelinnas elanikku.

Seotud sisu

Jäta meelde

$a_{1}$
${a_{1}}^{n}$
${a_{1}}^{q}$
${a_{1}}^{n - 1}$
$q$
$q^{n}$
$q^{n - 1}$
+
–
·
:

a_n =   

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Geomeetriline jada ja selle üldliige

Seotud sisu

Legend

Male

Vastus

Seotud sisu

Geomeetrilise jada üldliige

Geomeetriline jada

Märka

Jada üldliige

Valemi tuletus

Järeldus

Üldliikme valem

Mõtle kaasa

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märka

On/ ei ole geomeetriline jada

Kümnes liige

Puuduvad liikmed

Muutujad jadas

Nõuanne

Nõuanne

Vastus

Tõestamine

Suuremaks ja vähemaks

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid