Шурик, который учится в третьем классе, решает задачу:
На овощном складе было 2570 кг картофеля. Можно ли разделить этот картофель поровну между 9 магазинами?
Шурик полагает, что для решения задачи нужно выяснить, делится ли 2570 на 9, и начинает вычислять частное 2570 : 9. Его старший брат Толя, ученик 6 класса, снисходительно замечает: «Я и без деления могу сказать, что 2570 не делится на 9». Все дело в том, что Толя уже знает признаки делимости. Эти признаки позволяют определить, делится одно число на другое или не делится. Теперь и мы изучим некоторые из признаков делимости.
Сначала заметим, что
на данное натуральное число n делятся все кратные ему числа, ни одно другое число на n не делится.
Признаки делимости на 10, 5 и 2
Кратными числу 10 являются числа:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, …
Запись каждого из этих чисел оканчивается цифрой 0. Число, запись которого не оканчивается нулем, на 10 не делится.
Следовательно:
на 10 делятся все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0; если запись числа оканчивается любой другой цифрой, то число на 10 не делится.
Кратными числу 5 являются числа:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, …
Последней цифрой каждого из этих чисел является или 0, или 5.
Отсюда вытекает, что
на 5 делятся все те натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5; если запись числа оканчивается любой другой цифрой, то число на 5 не делится.
Кратными числу 2 являются числа:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
Запись чисел, кратных числу 2, оканчивается одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Эти цифры называются четными цифрами. Остальные цифры, то есть 1, 3, 5, 7 и 9, называются нечетными цифрами.
Следовательно:
на 2 делятся все те натуральные числа, запись которых оканчивается четной цифрой; если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то число на 2 не делится.
Натуральные числа, которые делятся на 2, называются четными числами. Все остальные натуральные числа нечетные. Например, числа 48, 36, 100, 34 762 – четные, а 39, 97, 1001, 98 673 – нечетные.
Признаки делимости на 3 и на 9
Кратными числу 3 являются числа:
3, 6, 9, 12, 15, 18, …, 81, 84, …, 777, …
Мы видим, что число, кратное 3, может оканчиваться любой цифрой. Поэтому судить о делимости на 3 по последней цифре записи числа мы не можем. Чтобы выяснить, делится данное число на 3 или нет, вычисляем сумму цифр этого числа. Например, сумма цифр числа 372 равна 3 + 7 + 2 = 12, сумма цифр числа 20 762 равна 2 + 0 + 7 + 6 + 2 = 17.
Можно показать, что
на 3 делятся все те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 3; если сумма цифр числа на 3 не делится, то это число на 3 не делится.
Например, можно проверить, что число 372 делится на 3 и сумма его цифр, т. е. 12, также делится на 3. Число 20 762 не делится на 3 и сумма его цифр, т. е. 17, также не делится на 3.
Признак делимости на 9 аналогичен признаку делимости на 3:
на 9 делятся все те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 9; если сумма цифр числа на 9 не делится, то это число на 9 не делится.
Проверь справедливость этого признака на примерах.
Упражнения A
 |
||||||||
- какие числа называются четными и какие – нечетными;
- признаки делимости на 2, 5 и 10;
- как найти сумму цифр числа;
- признаки делимости на 3 и 9.
- четыре трехзначных четных числа;
, , , - четыре трехзначных нечетных числа.
, , ,
- 137
- 568
- 1392
- 4939
- 5300
- 1026
- 375 654
- 9999
- 100 000
- 392 497
Ответ: , все ученики тетради, так как .
В командах могло быть
- по одному человеку
- по два человека
- по три человека
- по четыре человека
- по пять человек
- по шесть человек
- по семь человек
- по восемь человек
- по девять человек
- по десять человек
Пример: сумма цифр числа 32 равна 5, так как 3 + 2 = 5.
Число | Сумма | Число | Сумма | Число | Сумма | Число | Сумма | |||
32 | 512 | 4002 | 394 503 | |||||||
49 | 609 | 10 951 | 2 320 474 |
1; 2; 5 | 1; 3; 7 | |||
1; 5; 9 | 4; 6; 8 |
2; 8; 9 | 3; 6; 9 | |||
3; 8; 8; 8 | 0; 2; 1; 4 |
100
578
401
888
- на три равные части
- на девять равных частей
Объясни, почему.
Упражнения Б
 |
||||||||
на 2 | , , |
на 5 | , , |
на 10 | , , |
, , ,
Вывод.
Ответ: из этих цифр можно составить различных чисел, делящихся на 5.
Ответ: наименьшей суммой цифр двузначного числа является , а наибольшей .
Цифры | Число, делящееся на 3 | Число, делящееся на 9 |
5, 8 | ||
1, 8 | ||
3, 6 |
на 3 | , , , , , , |
на 5 | , , , |
на 9 | , |
и на 2, и на 3 | , , , |
и на 2, и на 9 | |
и на 3, и на 5 |
4*1*
Всего имеется возможностей.
на 6? | |
на 18? | |
на 30? |
,
, , , ,
,
