Intervallide meetod

  • Intervall
  • Intervallid arvteljel
  • Võrratuse lahendamine
Seotud sisu
Muud tegevused

Intervall

Erinevad tähendused

Ladina keeles intervallum – vahemik, kaugus.

Muusika

Intervall muusikas on kahe heli helikõrguste suhe või kahe heli omavaheline kaugus.

Füüsika

Füüsikas on intervall suurus, mis iseloomustab kahe sündmuse eraldatust ajas ja ruumis (EE).

Meditsiin

Intervall on meditsiinis nähtustevaba vaheaeg haiguse puhul.

Sõjandus

Intervall on sõjanduses sõjaväelaste, allüksuste, väeosade vm vahemaa üksteisest.

Märka intervalle

Intervall

Tooniline suurus

puhas priim

0

väike sekund

0,5

suur sekund

1

väike terts

1,5

suur terts

2

puhas kvart

2,5

puhas kvint

3,5

väike sekst

4

suur sekst

4,5

väike septim

5

suur septim

5,5

puhas oktav

6

Pythagorase koma

Pythagorase komaks nimetatakse kaheteistkümne puhta kvindi ja seitsme oktaavi erinevust.

Loe lisaks Pythagorase koma kohta

Pythagorase asutatud koolis Krootonis tegeleti algebra, geomeetria, astronoomia ja muusikaga. Väga huvitaval kombel on omavahel seotud Pythagorase arusaamine muusikast, irratsionaalarvudest ja klaveri häälestus, mis on muusikaliselt alati vigane. Kohe selgitame, miks.

Pythagorlased pidasid arvuks kahe täisarvu suhet, nad ei tundnud irratsionaalarve. Arve oskasid nad omistada aga ka helikõrguste suhetele ehk intervallidele.

Näiteks kui täispikkusega vibreeriv keel vajutada keskelt kinni, siis saadud kaks korda lühem keel tekitab kõrgema heli. Nende helikõrguste suhe ehk intervall on 2 ning seda nimetatakse oktaaviks.

  • Kui alustada mis tahes helikõrgusest sagedusega h, siis oktaav kõrgem heli on kaks korda suurema sagedusega 2h.
  • Kui keel vajutada kinni suhtes 2 : 1, siis pikema osa ja esialgse heli vaheline intervall on puhas kvint. Nende sageduste suhe on 1,5.

Keelpillide viiuli, vioola ja tšelloga on võimalik tekitada mis tahes sagedusega heli kindlast sagedusvahemikust. Klaveri puhul on aga võimalik saada eri kõrgusega helisid sama palju kui on klahve, tavaliselt 84. Klaveri igale klahvile vastav keel häälestatakse nii, et klahvile vajutades tuleks kuuldavale sellele ette nähtud sagedusega heli. Kaua aega oli klaveri häälestamine suur probleem, mida põhjustas oktaavi ja kvindi vaheline ebakooskõla.

Kaveril on kahe kõrvuti asetseva klahvi vahe pool tooni. Oktaav koosneb 12 pooltoonist ja kvint 7 pooltoonist. Kui jalutada klaveri kõige madalamalt klahvilt sagedusega h kõige kõrgema heliga klahvile intervalliga oktaav, saame teha 7 sammu. Viimasele klahvi sagedus on siis

27 ⋅ h = 128 ⋅ h.

Kui sammu pikkus on puhas kvint, siis tuleb samme 12. Eeldusel, et kvint vastab sageduste suhtele 1,5, on viimase klahvi sagedus

1,512 ⋅ h ≈ 129,7 ⋅ h.

See tähendab, et kõige kõrgemale klahvile vastav keel peaks samal ajal võnkuma kahe erineva sagedusega. Selgub, et klaverit polegi võimalik häälestada nii, et kõikide oktaavide suhe oleks 2 ja kvintide suhe 1,5.

Arvude 1,512 ja 27 suhet nimetataksegi Pythagorase komaks.

1,512 : 27 = 1,013643265

Klaverit häälestades tuli üks kvintidest teha Pythagorase koma võrra väiksemaks, teised kvindid jäid puhtaks.

Vastuolu oktaavi ja kvindi vahel lahendati 17. sajandil A. Werkmeisteri poolt, kes tegi kvindi väiksemaks nii, et kvintide sageduste suhe oleks 1,4983. Nüüd häälestatakse klaverid kõik uue kvintide sageduse järgi ja sellist häälestust nimetatakse tempereeritud häälestuseks.

Saab näidata, et pooltoonide sageduste suhe on irratsionaalarv 212, aga selliseid arve pythagorlased ei tundnud.

Seotud sisu
Muud tegevused

Intervallid arvteljel

Hulkliige

Hulkliikme Pn(x) järguks n nimetatakse muutuja kõrgeimat astet hulkliikmes.

Näiteks

Hulkliige P2(x) = 5x2 + 99x – 1 on teist järku

ja hulkliige  P3(x) = x2 – 2x3 on kolmandat järku.

Intervallid arvteljel

  • Kanname hulkliikme Pn(x) kõik r nullkohta arvteljele.
  • Igas konkreetses intervallis on võrratuse vasakuks pooleks oleva hulkliikme märk sama.
  • Märk saab muutuda vaid üleminekul ühest intervallist teise.
  • Märk muutub vaid siis, kui vastava teguri astendaja (nullkoha kordsus) on paaritu arv, sest negatiivse arvu paarisarvuline aste on alati positiivne ega mõjuta seega avaldise märgimuutust.

Märka

  • Kui hulkliikmel Pn(x) on r erinevat nullkohta, siis jaotub arvtelg (r + 1) piirkonnaks ehk intervalliks.
  • Määrame hulkliikme märgi parempoolses intervallis (xr; ∞).
  • Paremalt vasakule igasse järgmisesse intervalli liikudes tuleb tegurite astendajate arvu arvestades märki muuta või jätta see samaks.
  • Nii leiamegi hulkliikme märgid kõigis (r + 1) intervallis ning järelikult ka antud võrratuse lahendihulga.

Näide ja kontroll

Näide 1

Lahendame võrratuse

(x – 1)(x2 – 5x + 6) ⋅ (3x2 + x + 2) < 0.

Lahendus

  1. Joonise tegemine
  • Tegurdame ruutavaldise

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).

Viimane ruutkolmliige ei tegurdu, sest võrrandi 3x2 + x + 2 = 0 diskriminant on negatiivne.

  • Saame kirjutada võrratuse vasaku poole tegurdatud kujul:

​ (x – 1)(x – 2)(x – 3)­­(3x2 + x + 2) < 0.

  • Kanname nullkohad x-teljele ja saame neli intervalli.
  1. Intervallide märgid
  • Uurime parempoolse intervalli (3; ∞) märki.
  • Kui x > 3, siis on kõik tegurid positiivsed, seega on võrratuse vasak pool positiivne ja kõige parempoolsem intervall on positiivne.
  • Et kolm esimest tegurit on paaritu astendajaga (astendaja on 1), siis muutub märk iga kord, kui läheme järgmisesse intervalli. Saame järgmise joonise.

Vastus

 L = (–∞; 1) ∪ (2; 3)

  1. Võtame ühe punkti esimesest vahemikust, näiteks x = 0. Kui asetame selle esialgsesse võrratusse, saame tõese arvvõrratuse  < 0.
  2. Kui võtame teisest vahemikust x = 2,5, siis on esimene tegur , teine  ja . Järelikult on nende tegurite korrutis .
  3. Kui võtame aga lahendihulka mittekuuluva arvu x = 4, siis saame väära arvvõrratuse  < 0.

Kuigi saame kontrollida vaid mõnda üksikut punkti lahendihulgast või väljaspool seda, võimaldab pisteline kontroll siiski vältida suuri vigu.

  • [–2; 7]
  • (–2; 0,5)
  • [–3; 2]
  • (–3; 2)
  • (–5; –3)
  • (–5; 5)
  • (–4; 0)
  • (0; 4)
  • (0; 1)
  • [–4; 0]
  • (–9; 6]
  • (–∞; –2]∪[7; ∞)
  • (–∞; –2]∪[0,5; ∞)
  • (–∞; –3)∪(2; ∞)
  • (–∞; –5)∪(5; ∞)
  • (–∞; –5)∪(–3; ∞)
  • (–∞; –4)∪(0; ∞)
  • (–∞; –9)∪[6; ∞)
  • (–∞; 0)∪(1; ∞)
  • ei leidu
Seotud sisu
Muud tegevused

Võrratuse lahendamine

Parempoolse intervalli märk

  • Kui hulkliikme kõrgeimat järku muutuja kordaja on positiivne, siis on kõige parempoolsema intervalli märk pluss.
  • Kui hulkliikme kõrgeimat järku muutuja kordaja on negatiivne, siis on kõige parempoolsema intervalli märk miinus.
  • Tegurdatud avaldise muutuja kõrgeimat järku muutuja kordaja leidmiseks korrutatakse kõikide tegurite suurima astendajaga muutujate kordajad.
  • Kõik võrratused saab teisendada kujule, kus kõrgeimat järku muutuja kordaja on positiivne. Selleks tuleb muuta hulkliikme märgid ja võrratuse märk vastupidiseks.

Näide 2

Võrratus

–x2 + 5x + 14 > 0

on samaväärne võrratusega

x2 – 5x – 14 < 0.

Märka

  • Mitterange võrratuse korral kuuluvad lõikude otspunktid lahendihulka. Seetõttu arvatakse kahe kõrvuti asuva samamärgilise lahendihulga vahel asuv nullkoht lahendihulka.
  • Range võrratuse korral ei kuulu lõikude otspunktid lahendihulka. Seetõttu arvatakse kahe kõrvuti asuva samamärgilise lahendihulga vahel asuv nullkoht lahendihulgast välja.

(2s2 – 5s + 3)3 (3s – 1)2 ≥ 0

  • Tegurdame esimestes sulgudes oleva avaldise

2s2 – 5s + 3 = (s – )(s – 1,5).
Nii saame kaks nullkohta kordsusega .

  • Kolmas nullkoht on   kordsusega .
  • Märgi joonisele nullkohad ning hulkliikme märk igas intervallis.
  • +
  • –
  • 1
  • 1,5
  • 13
  • Leia lahendihulk.

Vastus

L = (–∞;  ∪ ; ∞)

(u2 – 2u – 8)(u2 – 3u – 10)­(2u – 1)2­ ≤ 0.

  • Tegurdame kaks esimest ruutavaldist:
  1. u2 – 2u – 8 = ­­(u + )(u – )
  2. u2 – 3u – 10 = ­­(u + )(u – )
  • Meil on kolm erinevat nullkohta, millest u =  on kahekordne nullkoht.
  • Viimasest tegurist saame kahekordse nullkoha u = .
  • Võrratus saab pärast tegurdamist kuju
  • –4
  • –5
  • –2
  • –0,5
  • 0,5
  • 2
  • 4
  • 5
  • +
  • –

(u + )2(u – 4)(u – )(2u – 1)2 ≤ 0

Vastus

L = {} ∪ {} ∪ [; ]

Mõtle

  • 8(x – 1)3(x – 1,5)(3x – 1)2 > 0
  • 1;1,5
  • 13∪1;1,5
  • (-∞;1]∪[1,5;∞)
  • -∞;13∪13;1∪1,5;∞
  • 8(x – 1)3(x – 1,5)(3x – 1)2 < 0
  • 1;1,5
  • 13∪1;1,5
  • (-∞;1]∪[1,5;∞)
  • -∞;13∪13;1∪1,5;∞
  • 8(x – 1)3(x – 1,5)(3x – 1)2 ≤ 0
  • 1;1,5
  • 13∪1;1,5
  • (-∞;1]∪[1,5;∞)
  • -∞;13∪13;1∪1,5;∞
  • (x + 2)2(x – 4)(x – 5)(2x – 1)2 < 0
  • (4; 5)
  • (–∞; 4]∪[5; ∞)
  • (–∞; –2)∪(–2; 0,5)∪(0,5; 4)∪(5; ∞)
  • {–2}∪{0,5}∪[4; 5]
  • (x + 2)2(x – 4)(x – 5)(2x – 1)2 > 0
  • (4; 5)
  • (–∞; 4]∪[5; ∞)
  • (–∞; –2)∪(–2; 0,5)∪(0,5; 4)∪(5; ∞)
  • {–2}∪{0,5}∪[4; 5]
  • (x + 2)2(x – 4)(x – 5)(2x – 1)2 ≥ 0
  • (4; 5)
  • (–∞; 4]∪[5; ∞)
  • (–∞; –2)∪(–2; 0,5)∪(0,5; 4)∪(5; ∞)
  • {–2}∪{0,5}∪[4; 5]
Seotud sisu
Muud tegevused

Harjuta ja treeni

Intervallid ja lahendihulk

1) (x + 3)(x + 2)(x – 5) < 0

  • Nullkohad kasvavalt: x1 = , x2 = , x3 = .
  • Intervallide märgid: .
  • (–∞; –3)
  • (–∞; –2)
  • (–∞; 0)
  • (–3; –2)
  • (–2; 3)
  • (–2; 5)
  • (5; ∞)
  • (2; ∞)

Vastus

 L =  ∪ 

1) x(x – 1)(2 – x) > 0

  • Nullkohad kasvavalt: ­x1 = , x2 = , x3 = .
  • Intervallide märgid: .
  • (–∞; 1)
  • (–∞; 2)
  • (–∞; 0)
  • (0; 1)
  • (0; 2)
  • (1; 2)
  • (1; ∞)
  • (2; ∞)

Vastus

 L =  ∪ 

1) (2x – 4)2(3 – x) ≤ 0

  • Ühekordne nullkoht on x1 =  .
  • Kahekordne nullkoht on x2 = .
  • Intervallide märgid: .
  • (–∞; 3]
  • (–∞; 3)
  • (–∞; 2)
  • (2; 3)
  • {2}
  • [2; 3]
  • [2; ∞)
  • {3}
  • [3; ∞)
  • (3; ∞)

Vastus

L =  ∪ 

1) (x – 1)(x2 – 9)(x – 2)2 > 0

  • Ühekordsed nullkohad kasvavalt: x1 = , x2 = , x3 = .
  • Kahekordne nullkoht on x4 = .
  • Intervallide märgid: .
  • (–∞; –3)
  • (–∞; 1)
  • (–∞; 2)
  • (1; 2)
  • (–3; 1)
  • (–3; 2)
  • (2; 3)
  • (1; 3)
  • (2; ∞)
  • (3; ∞)

Vastus

L =  ∪ 

1) (x + 2)(x – 3)3(5 – x)2 ≤ 0

  • Ühekordne nullkoht on x1 = . 
  • Kahekordne nullkoht on x2 = .
  • Kolmekordne nullkoht on x3 = .
  • Intervallide märgid: .
  • (–∞; –2)
  • (–∞; –2]
  • [–2; 3]
  • {–2}
  • (–2; 3)
  • (3; 5)
  • {3}
  • [3; 5]
  • {5}
  • [5; ∞)
  • [3; ∞)

Vastus

L =  ∪ 

Seotud sisu
Muud tegevused