Sirge võrrandi üldkuju

Sihivektor ja normaalvektor
Sirge üldvõrrand
Sirge võrrandi teisendamine
Antud sirgele paralleelse sirge leidmine
Antud sirgele ristuva sirge leidmine

Seotud sisu

Sihivektor ja normaalvektor

Kahe muutuja x ja y suhtes lineaarne võrrand

ax + by + c = 0

on sirge võrrand üldkujul ehk üldvõrrand.

Sirge üldvõrrand

Võrrandi tuletus

Teame, et sihivektori kaudu kirjutatud sirge võrrandi

$\frac{x - x_{0}}{s_{1}} = \frac{y - y_{0}}{s_{2}}$

saab teisendada lineaarseks võrrandiks muutujate x ja y suhtes.

s₂(x – x₀) – s₁(y – y₀) = 0

s₂x – s₁y + (s₁y₀ – s₂x₀) = 0

Tähistame a = s₂, b = –s₁ ja c = s₁y₀ – s₂x₀, siis saame lineaarse võrrandi

ax + by + c = 0,

mis on sirge võrrand üldkujul.

Sirge sihivektoriga ristuvat vektorit nimetatakse sirge normaalvektoriks.

Märka

Sirge võrrandist üldkujul ax + by + c = 0 saab leida sirge

normaalvektori

$\vec{n}$ = (a; b) ja

sihivektori

$\vec{s}$ = (b; –a) või

$- \vec{s}$ = (–b; a).

Kui sirged on paralleelsed, siis nende sihivektorid ja normaalvektorid on samasihilised.

Sihi- ja normaalvektor

Vaatleme lähemalt vektoreid

$\vec{s}$ = (s₁; s₂) ning

$\vec{n}$ = (a; b).

Vektori $\vec{n}$ koordinaatideks on muutujate x ja y kordajad võrrandis.

Et a = s₂ ja b = –s₁, siis on vektorid $\vec{s}$ ja $\vec{n}$ teineteisega risti, sest nende skalaarkorrutis on null.

$\vec{s} \cdot \vec{n} =$ s₁s₂ – s₂s₁ = 0.

Näide 1

Sirge sihi- ja normaalvektori kaudu on hea leida antud sirgega paralleelne või risti asetsev sirge, mis läbib punkti P(x₀; y₀).

Joonisel esitatud sihi- ja normaalvektori koordinaadid on taandatud kujul.

3x – 5y + 2 = 0
- P(0; )
- $\vec{s}$ = (5; )
- $\vec{n}$ = (;)

–3x + 5y – 2 = 0
- P(0; )
- $\vec{s}$ = (5; )
- $\vec{n}$ = (;)

3x + 5y + 9 = 0
- P(; 0)
- $\vec{s}$ = (5; )
- $\vec{n}$ = (;)

–3x – 5y – 9 = 0
- P(; 0)
- $\vec{s}$ = (5; )
- $\vec{n}$ = (;)

Seotud sisu

Ristumine ja paralleelsus

Sirgega ax + by + c = 0 ristuva ja punkti P(x₀; y₀) läbiva sirge võrrand on

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} .$

Sirgega ax + by + c = 0 paralleelse ja punkti P(x₀; y₀) läbiva sirge võrrand on

a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0.

Märka

Ristsirge saamiseks võtame antud sirge normaalvektori otsitava sirge sihivektoriks.
Paralleelsete sirgete sihivektoriks võib olla üks ja sama vektor.
Paralleelsete sirgete normaalvektoriks võib olla üks ja sama vektor. Järelikult, võrrandi kaks esimest kordajat muutujate ees võib jätta muutmata.
Kui paralleelne sirge peab läbima punkti P(x₀; y₀), siis peab kehtima võrdus ax₀ + by₀ + c₁ = 0
ja c₁ on üldvõrrandisse otsitav vabaliige.

Näited

Ristuv sirge

Leiame sirgega 3x + y – 7 = 0 ristuva ja punkti A(–3; 4) läbiva sirge võrrandi.

Lahendus

Antud sirge normaalvektor on

$\vec{n}$ = (3; 1).

See on otsitava sirge sihivektor.

Vastus

Sirge võrrand on

$\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 4}{1} .$

Paralleelne sirge

Leiame sirgega 3x + y – 7 = 0 paralleelse ja punkti A(–3; 4) läbiva sirge võrrandi.

Lahendus

Otsitava sirge normaalvektor on sama, mis antud sirgel. Ka sihivektor on sama, mis antud sirgel, seega $\vec{s}$ = (–1; 3), sest

$\vec{n}$ · $\vec{s}$ = 3 · (–1) + 1 · 3 = 0.

Võrrand punkti ja sihivektoriga on

$\frac{x + 3}{- 1} = \frac{y - 4}{3} .$

Üldvõrrandi jaoks leiame vabaliikme.
3 · (–3) + 4 + c = 0
c = 5

Vastus

Sirge üldvõrrand on 3x + y + 5 = 0.

Antud on sirge 2x + 4y – 3 = 0.

3x + 5y = 2
y = 2x
4x — 2y = 0
x + 4y = 2
–4x + 2y = 1
2x + 4y = 1
y = –0,5x
–3x–6y = –4

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$\frac{x + 1}{- 4} = \frac{y - 1}{2},$ seega
x + y + = 0
$\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 5}{4},$ seega
x + y + = 0
y = –0,5x – 1, seega

x + y + = 0

$\vec{s}$ = (3; –2)

(0; 2)
(2; 3)
(2; –3)
(–3; –2)
(–2,6; –3,9)

$\vec{n}$ = (–4; –3)

(4; 3)
(3; 4)
(–3; 4)
(0,6; –0,8)
(0; 0)

$\vec{A B}$ on külje AB
$\vec{h}$ on külje AB
D(; )

Sirge AB võrrand punkti A kaudu
$\frac{x -}{} = \frac{y -}{}$
Kõrguse võrrandi punkti D kaudu
$\frac{x -}{1} = \frac{y -}{}$

Vastus

AB võrrand üldkujul
Kõrguse h võrrand üldkujul

Sirge 1

x – 4y + 1 = 0
4x + y – 3 = 0
x – 4y + 4 = 0
4x + y – 5 = 0

Sirge 2

Sirge 3

Sirge 4

x + 3y – 6 =0
3x – y + 4 =0
3x – y – 4 =0
3x – y + 2 = 0

Sirge 1

x – 4y – 10 = 0
4x + y + 3 = 0
x – 4y + 10 = 0
4x + y – 4 = 0

Sirge 2

Sirge 3

Sirge 4

x + 3y – 11 =0
3x – y + 4 =0
3x – y – 4 =0
x + 3y + 11 = 0

Külje AB võrrand
Külje BC võrrand
Külje AC võrrand

Kõrguse h võrrand
Paralleeli t võrrand

Seotud sisu

Valemid

ax + by + c = 0

algordinaat

lõikab x-telge

abstsiss on 1

ordinaat on 1

normaalvektor

sihivektor

tõus

(b; –a)

(a; b)

$\frac{- a}{b}$

$\frac{- c}{b}$

$\frac{- c}{a}$

$\frac{- a - c}{b}$

$\frac{- b - c}{a}$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Sirge võrrandi üldkuju

Seotud sisu

Sihivektor ja normaalvektor

Sirge üldvõrrand

Võrrandi tuletus

Märka

Sihi- ja normaalvektor

Näide 1

Seotud sisu

Ristumine ja paralleelsus

Märka

Näited

Ristuv sirge

Lahendus

Vastus

Paralleelne sirge

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vastus

Seotud sisu

Valemid

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid