Приведение дробей к общему знаменателю

Расширение дробей

Основное свойство дроби позволяет умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же отличное от нуля число. Такая операция называется расширением дроби. Число, на которое умножают, называется дополнительным множителем. Его обычно записывают над числителем расширяемой дроби, отделяя дужкой.

Если дополнительный множитель равен 2, то получим

$\frac{\overset{\underset{⏝}{2}}{2}}{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6}$ и $\frac{\overset{\underset{⏝}{2}}{9}}{4} = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8}$ .

Часто нужно расширить дробь до дроби с заданным знаменателем. В этом случае говорят, что дробь приведена к данному знаменателю.

Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 20.

Для этого найдем такой дополнительный множитель, при умножении на который в знаменателе дроби $\frac{3}{4}$ получится 20. Так как 20 : 4 = 5, то таким множителем будет 5. Получим:

$\frac{\overset{\underset{⏝}{5}}{3}}{4} = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{15}{20}$ .

Если дополнительный множитель известен и числа небольшие, то умножение числителя и знаменателя делают в уме. Расширенную дробь записывают вслед за данной дробью после знака равенства.

Результат расширения дроби всегда можно проверить сокращением полученной дроби. Сокращение и расширение дроби – это взаимно обратные операции.

$\overset{\underset{⏝}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{2}}{\frac{2}{5}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{2}}{\frac{1}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{2}}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{2}}{\frac{2}{7}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{2}}{\frac{3}{10}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{5}}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{5}}{\frac{1}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{5}}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{5}}{\frac{2}{7}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{5}}{\frac{3}{10}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{7}}{\frac{1}{3}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{7}}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{7}}{\frac{2}{5}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{7}}{\frac{1}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{7}}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{7}}{\frac{2}{7}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{7}}{\frac{3}{10}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{12}}{\frac{1}{3}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{12}}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{12}}{\frac{2}{5}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{12}}{\frac{1}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{12}}{\frac{2}{7}} = \frac{}{}$

$\overset{\underset{⏝}{12}}{\frac{3}{10}} = \frac{}{}$

Каким должен быть дополнительный множитель при приведении дроби $\frac{1}{4}$ к знаменателю 8; 12; 24; 32?

Если привести дробь	Дополнительным множителем будет
к знаменателю 8?
к знаменателю 12?
к знаменателю 24?
к знаменателю 32?

Первоначальная дробь	Полученная дробь	Дополнительный множитель

Можно ли привести дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 15?
Можно ли привести дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 20? Обоснуй ответы.

Seotud sisu

Приведение дробей к общему знаменателю

Pасширение дробей позволяет заменять дроби с разными знаменателями дробями с одинаковыми знаменателями. В этом случае говорят, что дроби с разными знаменателями приведены к общему знаменателю.

Приведем дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$ к общему знаменателю.

Сначала найдем общий знаменатель этих дробей. При расширении дроби дополнительный множитель получается делением нового знаменателя на знаменатель данной дроби. Поэтому искомый общий знаменатель дробей должен делиться на их знаменатели. Общий знаменатель дробей является общим кратным знаменателей этих дробей.

Кратными числу 4 являются 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …

Кратными числу 6 являются 6, 12, 18, 24, 30, 36, …

НОК (4, 6) = 12

Но таких общих кратных бесконечно много (в нашем примере: 12, 24, 36, 48, …). Чтобы новые (расширенные) дроби имели как можно меньший знаменатель, обычно берут наименьшее общее кратное (НОК) данных знаменателей, в нашем случае число 12. Тогда дополнительным множителем для первой дроби будет 12 : 4 = 3, а для второй дроби 12 : 6 = 2.

Получим: $\overset{\underset{⏝}{3}}{\frac{3}{4}}$ = $\frac{9}{12}$ и $\overset{\underset{⏝}{2}}{\frac{5}{6}}$ = $\frac{10}{12}$ .

Приводить к общему знаменателю можно и нескольно дробей. Чтобы привести дроби к общему знаменателю:

найдем (наименьшее) общее кратное знаменателей данных дробей – (наименьший) общий знаменатель;
найдем для каждой дроби дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби;
умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Общий знаменатель дробей может быть найден и путем подбора: будем умножать наибольший из данных знаменателей (если он сам не является общим знаменателем) последовательно на числа 2, 3, 4, … до тех пор, пока не получится число, кратное каждому из данных знаменателей.

Приведем дроби $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{4}$ к общему знаменателю. Ни один из знаменателей данных дробей не является общим знаменателем. Наибольший знаменатель 5. Начнем подбор: 2 · 5 = 10 – не подходит, 3 · 5 = 15 – не подходит (так как числа 10 и 15 не делятся на все три знаменателя), 4 · 5 = 20 – подходит, так как число 20 делится на каждый знаменатель. Получим:

$\overset{\underset{⏝}{10}}{\frac{1}{2}}$ = $\frac{10}{20}$ , $\overset{\underset{⏝}{4}}{\frac{2}{5}}$ = $\frac{8}{20}$ и $\overset{\underset{⏝}{5}}{\frac{3}{4}}$ = $\frac{15}{20}$ .

Seotud sisu

Упражнения A

что значит расширить дробь;
как привести дробь к данному знаменателю.

$\overset{}{\frac{3}{5}} = \frac{}{15}$

$\overset{}{\frac{2}{3}} = \frac{}{27}$

$\overset{}{\frac{5}{9}} = \frac{}{36}$

$\frac{4}{7}$ к знаменателю 42	$\overset{}{\frac{4}{7}} = \frac{}{}$
$\frac{8}{11}$ к знаменателю 33	$\overset{}{\frac{8}{11}} = \frac{}{}$
$\frac{7}{10}$ к знаменателю 40	$\overset{}{\frac{7}{10}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{2}} = \frac{}{}$	$\overset{}{\frac{1}{4}} = \frac{}{}$
$\overset{}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$	$\overset{}{\frac{1}{10}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{3}{10}} = \frac{}{}$	$\overset{}{\frac{7}{20}} = \frac{}{}$
$\overset{}{\frac{9}{25}} = \frac{}{}$	$\overset{}{\frac{59}{50}} = \frac{}{}$

$\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{12}$ к знаменателю 24

$\overset{}{\frac{3}{8}} = \frac{}{24}$

$\overset{}{\frac{1}{12}} = \frac{}{24}$

$\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{9}$ к знаменателю 18

$\overset{}{\frac{5}{6}} = \frac{}{18}$

$\overset{}{\frac{5}{9}} = \frac{}{18}$

$\frac{3}{10}$ и $\frac{7}{15}$ К знаменателю 30

$\overset{}{\frac{3}{10}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{7}{15}} = \frac{}{}$

$\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{7}$ К знаменателю 14

$\overset{}{\frac{1}{2}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{3}{7}} = \frac{}{}$

Кратные числу 6 – это 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
Кратные числу 9 – это 9, 18, 27, 36, 45, …

НОК(6, 9) = 18

Числа 3 и 4 не имеют общих множителей

НОК(3, 4) = 3 · 4 = 12

Число 6 делится на 2

НОК(2, 6) = 6

Приведи дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{9}$ к общему знаменателю. Объясни каждый шаг решения.

$\overset{}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{2}{9}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{6}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{2}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{3}{5}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{7}{20}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{2}{9}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{5}{27}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{3}{8}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{15}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{5}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{3}{7}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{5}{21}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{2}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{3}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{2}{3}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{5}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{3}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{4}{7}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{2}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{4}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{4}{9}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{2}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{3}{5}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{4}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{3}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{3}{5}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{4}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{2}{5}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{6}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{7}{20}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{13}{30}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{10}{9}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{13}{12}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{5}{16}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{4}{9}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{2}{15}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{5}{18}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{11}{24}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{13}{22}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{7}{33}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{5}{12}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{2}{9}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{5}{9}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{4}{15}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{3}{16}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{7}{24}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{4}{15}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{9}{20}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{5}{18}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{3}{8}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{11}{14}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{6}{35}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{6}{25}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{8}{15}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{2}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{1}{3}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{2}{3}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{12}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{3}{5}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{7}{10}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{4}{15}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{2}{3}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{1}{9}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{5}{18}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{3}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{5}{8}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{7}{12}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{2}{3}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{4}{7}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{2}{3}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{1}{6}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{5}{12}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{7}{9}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{5}{12}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{1}{7}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{3}{2}} = \frac{}{}$

Seotud sisu

Упражнения Б

$\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{5}$ к знаменателю 30

$\overset{}{\frac{1}{2}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{2}{3}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{4}{5}} = \frac{}{}$

$\frac{3}{8}$ , $\frac{11}{12}$ и $\frac{1}{9}$ к знаменателю 72

$\overset{}{\frac{3}{8}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{11}{12}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{9}} = \frac{}{}$

$\frac{7}{10}$ , $\frac{5}{18}$ и $\frac{1}{4}$ к знаменателю 180

$\overset{}{\frac{7}{10}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{5}{18}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{4}} = \frac{}{}$

$\frac{7}{9} = \frac{x}{54}$
x =

$\frac{5}{12} = \frac{35}{x}$
x =

$\frac{4}{21} = \frac{x}{105}$
x =

$\frac{7}{15} = \frac{42}{x}$
x =

$\frac{\overset{\underset{⏝}{5}}{3}}{m}$ и $\frac{\overset{\underset{⏝}{4}}{4}}{n}$ (20)
m = ,
n =

$\frac{\overset{\underset{⏝}{2}}{1}}{m}$ и $\frac{\overset{\underset{⏝}{1}}{1}}{n}$ (10)
m = ,
n =

$\frac{\overset{\underset{⏝}{4}}{5}}{m}$ и $\frac{\overset{\underset{⏝}{3}}{3}}{n}$ (24)
m = ,
n =

$\frac{\overset{\underset{⏝}{3}}{5}}{m}$ и $\frac{\overset{\underset{⏝}{4}}{1}}{n}$ (36)
m = ,
n =

$\overset{}{\frac{11}{36}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{13}{60}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{7}{52}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{3}{260}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{1}{45}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{13}{120}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{5}{24}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{7}{96}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{16}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{9}{80}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{17}{360}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{30}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{7}{24}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{9}{40}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{5}{36}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{5}{6}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{4}{9}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{1}{2}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{2}{3}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{2}{9}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{7}{24}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{3}{10}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{1}{6}} = \frac{}{}$

$\overset{}{\frac{5}{36}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{7}{8}} = \frac{}{}$ , $\overset{}{\frac{1}{144}} = \frac{}{}$ и $\overset{}{\frac{3}{4}} = \frac{}{}$

111. Игра в кости с приведением дробей к общему знаменателю

Сыграй в следующую игру.

Подбрось две игральные кости два раза и составь две дроби. Первую дробь составь из очков, выпавших при первом броске, а вторую – из очков, выпавших при втором броске. Приведи две полученные дроби к общему знаменателю. Выполни это задание не менее 10 раз. Проверку своих результатов предложи соседу по парте.

Seotud sisu