Задача. На полу детской комнаты нужно закрасить круг, радиус которого 2 м. Сколько краски потребуется для этого, если на каждый квадратный метр расходуется 0,2 кг краски?
Чтобы решить эту задачу, нужно найти площадь круга. Как это сделать? Рассмотрим сначала, как находят площадь квадрата и прямоугольника.
На рисунке квадрат покрыт четырьмя единичными квадратами, а прямоугольник – десятью единичными квадратами. Следовательно, площадь квадрата равна 4, а площадь прямоугольника – 10 единицам площади.
Попробуем таким же способом найти приблизительную площадь круга. Подумай, почему таким методом нельзя найти точное значение этой площади.
Начертим круг радиусом 2 единицы длины и разделим этот круг на 4 равные части, или секторы. Подсчитаем приблизительно, сколько единичных квадратов покрывают одну четверть круга. Полученный результат умножим на 4 и получим приблизительное значение площади круга.
Площадь круга S ≈ 4 · 3 = 12 (единиц площади).
Чтобы найти более точное значение площади круга, начертим этот круг и вырежем его из бумаги. Перегнем круг несколько раз вдоль диаметров, например, так, чтобы линии сгиба обозначили 16 секторов с равными углами. Развернем бумагу, разрежем круг на два равных полукруга, а затем – на секторы. Расположим эти секторы так, как показано на рисунке.
Длина дуги полукруга есть 2πr : 2 = πr.
Сложенная из секторов фигура будет тем ближе к прямоугольнику, чем бóльшим будет количество равных секторов, на которые мы разбиваем круг. Это наводит нас на мысль, что длиной одной из сторон прямоугольника является длина дуги полукруга (полуокружности), а длиной другой стороны – радиус круга. В итоге мы получаем, что площадь рассматриваемого круга
S = πr · r = 4π ≈ 4 · 3,14 = 12,56 (единиц площади).
Строгими рассуждениями доказано, что площадь круга в π раз больше площади квадрата, сторона которого равна радиусу круга. Если обозначить радиус круга буквой r, то площадь квадрата, сторона которого равна радиусу круга, равна r2.
Следовательно, площадь круга вычисляется по формуле
S = πr2
Чтобы вычислить площадь круга, нужно квадрат радиуса умножить на π.
С помощью этого правила можно решить задачу из начала параграфа. Найдем по формуле площадь круга, который нужно закрасить:
S = π · 22 ≈ 3,14 · 4 = 12,56 (м2).
Так как на каждый квадратный метр расходуется 0,2 кг краски, то всего нужно краски 0,2 · 12,56 ≈ 2,5 (кг).
Ответ: потребуется примерно 2,5 кг краски.
Чтобы пользоваться калькулятором для вычисления площади круга, необходимо уметь находить квадрат числа, то есть произведение числа самого на себя. Это можно сделать очень просто: вводим число, нажимаем на клавишу умножения и на клавишу ответа. На экране появится квадрат этого числа.
 |
||||||||
Вычислим 5,72 = 32,49.
Схема: 5 , 7 × =
 |
||||||||
Вычислим площадь круга, радиус которого 4,9 см.
Схема:
4 , 9 × = × π =
На экране получим число 75,429638 (cм2), которое можно округлить, например, до десятых (75,4 см2), до сотых (75,43 см2) и т. д.
Многие калькуляторы снабжены специальной клавишей x2 для вычисления квадрата числа.
 |
||||||||
12,72 = 161,29.
Схема: 1 2 , 7 x2 =
Упражнения A
 |
||||||||
r = 6 cм | S ≈ cм2 |
r = 4,2 cм | S ≈ cм2 |
r = 12 дм | S ≈ дм2 |
r = 3,4 дм | S ≈ дм2 |
r = 0,5 м | S ≈ м2 |
r = 23 м | S ≈ м2 |
d = 18 cм | S ≈ cм2 |
d = 3,6 дм | S ≈ дм2 |
d = 15 дм | S ≈ дм2 |
d = 2 м | S ≈ м2 |
d = 8,5 м | S ≈ м2 |
Ответ: длина окружности площадки приблизительно равна м, а ее площадь м2.
Ответ: плитки потребовалось приблизительно м2 .
 |
||||||
Упражнения Б
 |
||||||||
Во сколько раз:
- радиус большего круга больше радиуса меньшего круга;
- площадь большего круга больше площади меньшего круга?
Сравни полученные результаты с результатами задачи 568.
Ответ: площадь этого кольца равна π cм2 , или приблизительно cм2.
Ответ: площадь этой фигуры приблизительно равна см2.
Ответ: площадь закрашенной части квадрата приблизительно равна см2.
Ответ: площадь закрашенной части квадрата приблизительно равна см2.
Ответ: площадь закрашенной части равна π cм2, или приблизительно см2.
Ответ: радиус круга равен см. Площадь квадрата в раза больше площади круга.
