Возьми лист белой бумаги, карандаш, циркуль и линейку. Внимательно прочитай текст и следуй указаниям.
Начерти отрезок АВ. Возьми раствор циркуля больше половины длины отрезка АВ. Установи ножку циркуля в конец отрезка и проведи дугу окружности (рисунок А).
Не меняя радиуса окружности, установи ножку циркуля в другой конец отрезка АВ и проведи вторую дугу. Полученные дуги пересекутся в двух точках K и L. Проведи через эти точки прямую s. Она пересечет отрезок АВ в точке О (рисунок Б). Точка О является искомой серединой отрезка АВ. Вырежи свой чертеж из листа бумаги и наклей его в тетрадь. Запомни, как шаг за шагом выполняется нахождение середины отрезка.
Убедимся в том, что полученная точка О является серединой отрезка АВ. Соединим отрезками точки А, L, В и K. Получим четырехугольник ALBK, симметричный относительно прямой s: если перегнуть чертеж вдоль прямой s, то треугольники ALK и BLK наложатся друг на друга, т. е. они равны. Поэтому и точки А и В накладываются друг на друга. Следовательно, АО = ОВ, а это значит, что точка О является серединой отрезка АВ. Треугольники АКО и ВКО симметричны относительно прямой s, поэтому ∠АОК = ∠ВОК и эти углы прямые. Итак, ось симметрии отрезка проходит через его середину перпендикулярно к данному отрезку. Поэтому прямую s называют серединным перпендикуляром к отрезку АВ. С помощью симметрии можно показать, что:
 | ||||||||
каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
 | AC = BC AD = BD AE = BE AF = BF | |||||
Верно и обратное:
всякая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Правило нахождения середины отрезка с помощью циркуля и линейки (и построение серединного перпендикуляра к отрезку) можно записать так:
- возьмем раствор циркуля больше (на глаз) половины длины отрезка;
- возьмем за центр окружности один конец отрезка, а за центр другой окружности – другой конец отрезка и проведем дуги этих окружностей так, чтобы они пересеклись в двух точках;
- начертим прямую, проходящую через точки пересечения дуг окружностей; эта прямая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину.
Упражнения A
 |
||||||||
647. Деление отрезка пополам
Начерти отрезок CD и раздели его пополам с помощью циркуля и линейки.
648. Серединный перпендикуляр к отрезку
Начерти серединный перпендикуляр к отрезку KL = 5 см.
649. Ось симметрии отрезка
Начерти ось симметрии некоторого отрезка MN.
650. Деление отрезка на четыре равные части
Начерти отрезок PR и раздели его с помощью циркуля и линейки на четыре равные части.
- Никите найти середину подоконника с помощью карандаша и веревки, которая короче подоконника;
- Пете разделить пополам полосу обоев без вспомогательных средств;
- Незнайке найти середину нарисованного на листе бумаги отрезка, если у него есть только прямая полоска бумаги и карандаш;
- дровосеку найти середину бревна, если у него есть только веревка, которая немного длиннее этого бревна;
- столяру найти середину доски, если у него есть только карандаш и шнур, который короче доски.
 |
||||||
Упражнения Б
 |
||||||||
657. Серединный перпендикуляр к отрезку
Начерти треугольник ABC и проведи серединные перпендикуляры к двум его сторонам. Выясни с помощью циркуля, каким свойством обладает точка пересечения этих перпендикуляров. Как можно использовать это свойство?
658. Деление отрезка пополам
Начерти треугольник KLM и найди середины всех его сторон. Полученные точки А, В и С соедини отрезками. Сделай измерения и сравни периметры треугольников KLM и ABC.
659. Серединный перпендикуляр к отрезку
Начерти окружность с центром О и отметь на ней точки A, B и C. Построй серединные перпендикуляры к отрезкам AB и BC. В какой точке пересекаются эти перпендикуляры?
662. Программа GeoGebra
С помощью программы GeoGebra построй отрезки.
Найди их середины и проведи серединные перпендикуляры к отрезкам (см. Приложение 3).
