Permutatsioonid

  • Faktoriaal
  • n!
  • Järjestuste arvu leidmine, permutatsioonid
  • Permutatsioonide kasutamine tõenäosuse leidmisel
Seotud sisu
Muud tegevused

Ettepoole ja tahapoole

Ootajale paistab järjekorras eespool 10 inimest ja tagapool 6 inimest.  Mitu inimest on selles järjekorras? Viisakate inimeste korral seisab iga järgmine tulija järjekorra lõppu. 

Aga mis saab, kui kõik satuvad tulema ühel ajal? Kas ka siis on alati kindel, kuidas järjekord moodustub?

Seotud sisu
Muud tegevused

Järjestused

Märka

Uus tehe – arvu n faktoriaal

2! = 2 · 1

3! = 3 · 2 · 1 = 6

4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

5!= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120  jne

10! = 10 · 9 · 8· ...· 2 · 1 = 3 628 800

On kokku lepitud, defineeritud, et

0! = 1,  

1! = 1.

Arvude n, n – 1, n – 2, …, 3, 2 ja 1 korrutist nimetatakse arvu n faktoriaaliks.

Seda tähistatakse hüüumärgiga ! arvu n järel:

n! = n · (n – 1) · (n  2) · ... · 2 · 1.

Uurime hulka, mis koosneb n elemendist. Olgu selle näiteks kolmest tähest S, A ja I koosnev hulk (n = 3). Moodustame sellest hulgast tähti ümber paigutades erinevaid „sõnu”. Need on SAI, SIA, ASI, AIS, ISA, IAS. Need on permutatsioonid ehk erinevad järjestused  kolmest elemendist S, A ja I.

Tähtedest S, A ja I moodustatavate „sõnade” ehk permutatsioonide arv on 6. Arv 6 on kirjutatav korrutisena 6 = 3 · 2 · 1. Viimane korrutis on aga arvu kolm faktoriaal, 3!. Nägime, et kolmest elemendist koosneva hulga liikmete ümber­järjestamiseks on võimaluste arv  P3 = 3!.

n-elemendilise hulga kõigi erinevate järjestuste ehk permutatsioonide arv Pn  avaldub kujul

Pn = n · (n – 1) · ... · 2 · 1 = n!

Näide

Väikeses maakoolis on klassis 10 istekohta. 

  1. Mitu võimalust on 10 last istuma paigutada, kui erisoove ei arvestata?

P10 = 10 · 9 · ... · 2 · 1 = 10! = 3 628 800

  1. Mitu võimalust istuda on teistel, kui 2 last on juba klassis koha valinud?
    ​Tuleb paigutada 8 last 8 kohale

P8 = 8 · 7 · ... · 2 · 1 = 10! = 40 320

Aga saab mõelda ka nii. Väikeses maakoolis on klassis 10 istekohta. Mitu võimalust on 10 last istuma paigutada, kui erisoove ei arvestata?

  • Esimene laps valib koha. Tal on 10 võimalust. Ta istub ühele kohale.
  • Teine laps valib koha. Tal on 9 võimalust. Ta istub ühele kohale.
  • Esimese lapse iga erineva valikuga kaasneb teise lapse 9 valikut, seega 10 · 9. Analoogne on olukord järgmise, siis järgmise lapsega jne. 

Kokku seega

10 · 9 · ... · 2 · 1 = 10! = 3 628 800

P=!

Missugune on tõenäosus, et selliselt moodustatud sõnadest juhuslikult valitud sõna ...

  1. on tähendusega? 
  2. algab või lõpeb A-ga? 
Seotud sisu
Muud tegevused

Liivakast

Neli poissi ja kuus tüdrukut paigutatakse ritta. 

  • 0,5
  • 0,05
  • 0,005
  • 10
  • 10!
  • 4! · 6
  • 4! · 6!
  • 4! + 6!

Rivistatakse  last. 

Mitu võimalust on, et ...

  1. kõik tüdrukud on rea alguses?  
  2. kõik poisid on rea alguses?  
  3. kõik poisid on rea lõpus?  
  4. neli tüdrukut on rea alguses?  
  5. neli tüdrukut on rea lõpus? 

Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult moodustatud reas on kõik tüdrukud rea alguses? Tehe tõenäosuse arvutamiseks on.

Seotud sisu
Muud tegevused

Põhiteadmised

  • Kõiki võimalusi raamatute paigutamiseks on .
  • Soodsaid võimalusi on .

Vastus

Tõenäosus, et raamatud saavad numbri järgi kasvavasse järjekorda on .

  1. Mitmes erinevas järjestuses võivad need klassid tulla koolilõunale?  
  2. Kui lõunaletuleku järjekorda muudetaks iga päev, siis mitme aasta pärast oleksid kõik erinevad järjestused läbi proovitud?   
  3. Kui suur on tõenäosus, et kõige vanem klass saab minna koolilõunale esimesena? 

Määra tehe.

  • 1
  • 8!
  • 9!
  • 1 : 8!
  • 1 : 9!
  • 8! : 9!

Vastus 

Tõenäosus on .

Numbritest saab moodustada  erinevat koodi.

  • 14
  • 14!
  • 44!
  • 14!2
  • 1-14!·14!
  • 11-4!
  • 1-14!

Kui suur on tõenäosus, et ...

  1. uks avaneb esimesel katsel? 
  2. uks avaneb teisel katsel? 
Seotud sisu
Muud tegevused

Hea osata

Vastus

 erinevat lõunat.

Vaata sügavamale

Permutatsioonid

Seotud sisu
Muud tegevused