Вынесение общего множителя за скобки

1) 6a² + 12a;

2) 8ab³ – 6ab + 4a²b.

Ранее (§ 1.4) мы научились умножать одночлен на многочлен. В задаче 131 нужно решить обратную задачу: как представить заданный многочлен в виде произведения одночлена и другого многочлена? Рассмотрим, например, многочлен

12x³ – 4x² + 8x

и выясним, какие одночлен и многочлен нужно перемножить, чтобы получить данный многочлен. Для этого исследуем, на какой одночлен можно разделить этот многочлен. Таких одночленов несколько, например, 2, 4, x, 2x и др. Возьмем в качестве коэффициента делителя наибольший общий делитель коэффициентов данного многочлена, а переменную возьмем с наименьшим показателем степени. Искомым делителем будет одночлен 4x, и тогда наш многочлен можно записать в виде произведения двух множителей следующим образом:

12x³ – 4x² + 8x = $4 x (\frac{12 x^{3}}{4 x} - \frac{4 x^{2}}{4 x} + \frac{8 x}{4 x})$ = 4x(3x² – x + 2).

Промежуточную часть обычно не записывают, вычисляя соответствующие частные в уме.

Мы преобразовали данный многочлен в произведение. Преобразование многочлена в произведение называют разложением многочлена на множители. При разложении на множители мы пока будем пользоваться следующим приемом:

найдем общий делитель всех членов многочлена, т. е. одночлен, на который делятся все члены многочлена;
найденный делитель запишем перед скобками (или за ними), т. е. вынесем его за скобки;
в скобках запишем многочлен, который получится при делении заданного многочлена на вынесенный за скобки множитель.

6m²n⁵ + 10m³n² – 8m⁵n³ = 2m²n²(3n³ + 5m – 4m³n)
12a²b² + 8a³ – 4a² = 4a²(3b² + 2a – 1)
x²y² – 2x²y³ + x³y³ = x²y²(1 – 2y + xy)

Правильность разложения на множители можно всегда проверить, снова раскрыв скобки, т. е. с помощью умножения.

Seotud sisu

Упражнения A

	6a – 6b	18x + 12
число 2;
число 3;
число 6.

Не пользуйся пробелами!

	24y – 6	30 + 12y
число 2;
число 3;
число 6.

Не пользуйся пробелами!

	30a + 18	42 – 6t
число 2;
число 3;
число 6.

Не пользуйся пробелами!

	60 + 12z	48x – 54
число 2;
число 3;
число 6.

Не пользуйся пробелами!

	–4ay – 4ax	20a² – 8a	–12az + 16a
множитель –4;
множитель a;
множитель –4a.

Записывай без пробелов! Показатель степени квадрата вводи либо после символа ^, либо с помощью кода Alt+0178 или же копируй отсюда: ².

	4a + 24ax	32a – 8a³	–16am – 40an
множитель –4;
множитель a;
множитель –4a.

Записывай без пробелов! Показатели степени квадрата и куба вводи после символа ^ или с помощью кодов Alt+0178 и Alt+0179, либо копируй отсюда: ², ³.

	28a + 20ab	–12a³ – 4a	12ab – 4a
множитель –4;
множитель a;
множитель –4a.

	xy² – x²y	xy + x²y²
множитель x;
множитель y;
множитель xy.

Не пользуйся пробелами! Показатель степени квадрата вводи после символа ^ или с помощью кода Alt+0178, либо копируй отсюда: ².

	x³y + xy²	x³y³ – 2xy
множитель x;
множитель y;
множитель xy.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел – это наибольшее число, на которое делятся все данные числа. Например, наибольшим общим делителем чисел 12 и 18 является 6.

10x – 15y =

18a + 12 =

24m – 16n =

20y + 30z =

–8c + 12d =

14x – 28 =

21p + 15r =

–6s – 9t =

x³ – x² =

y⁴ + y =

a⁵ – a⁴ =

z³ – z⁴ =

a²b + a²b² =

m³n² – m³n³ =

p²r + pr³ =

s² – s³t =

2a – 2y =

7x + 14 =

ax – a =

4m – 8 =

xy + y =

6m + mn =

–x² – 2x =

cd – bc =

a² + 4a =

5u² – 3u =

3a + 6ab =

8y² – 4y =

9x – 6x² =

2cd + 4d =

5z – 10z³ =

7y⁴ – 14y² =

s³t + s²t² =

b²y – by =

12c² – 6c³ =

4m – 12m² =

4a²y + 12ay² =

8x³y – 6x²y =

14mn⁴ – 21m²n³ =

13s²t⁵ + s³t⁴ =

22b³c³ – 2b³c² =

15c⁴ – 20c²d =

16 + 24ax =

18xy³ – 9y⁴ =

–c³y² – 4c³y³ =

6uv² + 12u²v² =

13m⁴u + 26m³n² =

18u²v⁵ – 27uv⁴ =

28t² – 4t³s =

12p²r + 24p³r² =

9a²x³ – 15ax² =

ab + ac – ad =

mx – nx – px =

5u + 10s + 15vs =

8c – 4d + 12b =

–xy – zx + xux =

a³ – a² – a =

a⁴ + a³ + a² =

x⁶ + x³ – x² =

c⁴ – c⁵ + c⁷ =

y³ – y⁶ – y⁸ =

2x³ – 6x² – 14x =

a²b + a²b² + ab² =

15m⁵ – 12m⁴ + 9m² =

x³y³ – x²y³ – x²y² =

16c – 24c² + 32c⁴ =

6 · 25,4 + 34,6 · 6 = =

15 · 3,7 + 15 · 6,3 = =

0,51 · 107 – 0,51 · 7 = =

8 · 46,2 – 6,2 · 8 = =

0,53 · 7 + 7 · 0,27 = =

6,12 · 14 – 1,12 · 14 = =

Если x = 8,7 и y = 1,3, то значение выражения 8x + 8y равно

Если a = 13,8 и b = 3,8, то значение выражения 11a – 11b равно

Если x = 0,45, то значение выражения 1,45x – x² равно

Seotud sisu

Упражнения Б

16xy⁵ + 12x⁵y⁵ – 4xy⁴ =

24a²b³ + 18a²b² – 12a²b⁴ =

25a⁵b³ – 15a³b³ – 20a³b⁵ =

42u⁶v⁴ – 18u⁵v³ + 30u³v² =

15a²b³c⁴ – 25a⁴b³c² + 40a⁴b⁴c⁴ =

28u⁸s⁴t² + 21s⁶t⁸u² – 14s⁵t⁶u⁶ =

18m⁵n⁶p⁷ – 24m⁴n⁵p⁶ + 48m⁵n⁶ =

56x⁵y⁶z² + 42x⁵y⁶z³ – 84x³y³z² =

4(x – 3) + a(x – 3) =

c(a + b) – 3(a + b) =

2m(x – y) – n(x – y) =

u(2m + 1) + v(2m + 1) =

a(n + 2) + 3b(n + 2) =

5u(s – 4t) – 2v(s – 4t) =

3x(2a + 3b) + y(2a + 3b) =

p²(n² – m) – s(n² – m) =

Если a = 1,4, то значение выражения a³ – 2,4a² равно

Если x = –2,5, то значение выражения 8x³ – 4x² + 6x равно

Если x = $\frac{2}{3}$ и a = –5, то значение выражения 3x²(a + 6) – 2x²(a + 6) равно

$\frac{25^{2} - 25 \cdot 19}{24 \cdot 12 - 48}$ =

$\frac{11 \cdot 19 + 19^{2}}{38 + 3 \cdot 19}$ =

$\frac{10^{7} - 10^{5}}{10^{4} - 10^{3}}$ =

$\frac{3^{8} - 2 \cdot 3^{7} + 5 \cdot 3^{6}}{3^{5} - 3^{4}}$ =

$\frac{39 \cdot 61 + 61^{2}}{8 \cdot 25 - 25 \cdot 4}$ =

$\frac{5 \cdot 2^{10} - 7 \cdot 2^{8} + 2^{7}}{2^{8} + 2^{7}}$ =

Примеры.

Числитель дроби является суммой одночленов. Чтобы разложить эту сумму на множители, вынесем за скобки общий множитель одночленов 2a². Затем сократим дробь. Запомни, что сокращать можно только множители.