Косвенное измерение длины

Одним из применений подобия треугольников является косвенное измерение расстояний и высот в случаях, когда их непосредственное измерение невозможно или затруднительно. Точки, расстояние между которыми нужно измерить, могут быть обе доступными, из них одна или даже обе могут быть недоступными. Рассмотрим все эти случаи отдельно.

1. Пусть обе точки А и В являются доступными, но при этом непосредственное измерение расстояния между ними невозможно.

Пусть обе точки А и В являются доступными, но при этом непосредственное измерение расстояния между ними невозможно. Такова, например, ситуация, когда эти точки находятся на противоположных берегах озера. Отметим на берегу озера такую точку О, расстояние от которой до точки А и до точки В можно измерить непосредственно. Измерим эти расстояния. Затем продлим отрезки АО и ВО через точку О так, что продолжение OD отрезка АО имеет длину OD = AO : n, и продолжение ОС отрезка ВО имеет длину ОС = ВО : n, где n – некоторое положительное число (желательно, натуральное). В силу признака подобия треугольников по СУС получим: ∆AOB ∼ ∆DCO, откуда AB = n · CD. Расстояние CD можно измерить непосредственно и затем вычислить длину отрезка АВ.

2. Рассмотрим случай измерения расстояния между двумя точками, когда только одна из этих точек доступна.

Вторая точка может находиться, например, на острове. Пусть точка А обозначает расположенный на острове маяк, расстояние от которого до точки В на берегу моря нужно измерить. Для этого отметим на берегу прямую, перпендикулярную прямой АВ и возьмем на ней точки О и В' так, что ОВ' = OB : n, где n – подходящим образом выбранное число, желательно натуральное. Из точки В' проведем прямую, перпендикулярную прямой ВВ', и отметим на ней точку А' так, чтобы точки А, О и А' располагались на одной прямой. По признаку подобия треугольников по двум углам получим: ∆ABO ∼ ∆A'B'O, откуда AB = A'B' · n. Так как отрезок А'B' можно измерить на местности, то мы можем вычислить и длину отрезка АВ.

3. С помощью подобных треугольников можно измерять расстояния и высоты и в том случае, когда оба конца измеряемого отрезка недоступны.

Рассмотрим в качестве примера измерение расстояния между двумя кораблями в море находящимся на берегу наблюдателем. Пусть А и В – два корабля, стоящие на якоре. Отметим на берегу две точки K и L, расстояние между которыми измерим как можно более точно. Отрезок KL называется базой. Из концов базы видны обе точки А и В. Измерим прибором для измерения углов углы AKL, BKL, ALK и BLK. Затем начертим на бумаге уменьшенное изображение четырехугольника ABLK. Измерим на чертеже длину отрезка АВ. Если чертеж уменьшает все расстояния в n раз, то действительное расстояние между точками А и В в n раз больше имеющегося на чертеже.