Квадратичная функция y = ax² + bx + c и ее график

Все рассмотренные нами квадратичные функции являлись частными случаями квадратичной функции общего вида, которая задается формулой y = ax² + bx + c, где x и y – переменные, а коэффициенты a, b и c есть заданные числа, причем a ≠ 0. Выясним теперь, как начертить график этой фунции. Мы знаем, как из графика квадратичной функции y = ax² получить график функции y = a(x +m)² + n. Мы также умеем преобразовывать функцию y = a(x + m)² + n к виду y = ax² + bx + c. Но чтобы начертить график функции y = ax² + bx + c, нужно уметь производить обратную операцию – преобразовывать формулу функции y = ax² + bx + c к виду y = a(x + m)² + n. Для этого нужно знать формулы для выражения параметров m и n через коэффициенты a, b и c так, чтобы выполнялось равенство

Изучив материал следующей главы этого учебника, ты сумеешь доказать, что выполняется равенство

(см. задание 467).

Сравнивая два последних равенства, получим, что $m = \frac{b}{2 a}$ и $n = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Следовательно,

график квадратичной функции y = ax² + bx + c получается из графика квадратичной функции y = ax² с помощью двух последовательных сдвигов.

Сдвинем график функции y = ax² вдоль оси абсцисс на $(m = \frac{b}{2 a})$ единиц влево, если m > 0, и на |m| единиц вправо, если m < 0. Получим график функции $y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$ .
Сдвинем полученный график параллельно оси ординат на $(n = c - \frac{b^{2}}{4 a})$ единиц вверх, если n > 0, и на |n| единиц вниз, если n < 0.

Мы также знаем, что при таких преобразованиях изменяется как ось параболы, так и координаты ее вершины.

Получим, что

графиком квадратичной функции y = ax² + bx + c является парабола, ось которой параллельна оси Оу и вершина которой расположена в точке $(- \frac{b}{2 a}; c - \frac{b^{2}}{4 a})$ .

Подставив в формулу y = ax² + bx + c значение x = 0, получим, что график квадратичной функции y = ax² + bx + c пересекает ось ординат в точке L(0; c).

Сделаем эскиз графика функции y = 2x² – 12x + 10. Найдем необходимую для этого информацию.

Так как коэффициент квадратичного члена a > 0, то ветви параболы направлены вверх.

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 2x² – 12x + 10 = 0 и получим, что

x₁ = 1 и x₂ = 5.

Ордината точки пересечения графика с осью Оу получается из формулы y = 2x² – 12x + 10 при x = 0. Получим: y = 2 ⋅ 0² – 12 ⋅ 0 + 10 = 10.
Таким образом, искомой точкой будет L(0; 10).

Найдем координаты m и n вершины параболы: подставим значения коэффициентов a, b и c в формулы $m = \frac{b}{2 a}$ и $n = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ , откуда получим, что $m = \frac{- 12}{2 \cdot 2} = - 3$ и $n = 10 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 2} = - 8$ .

Вершина параболы – точка H(3; –8). На основании полученных данных сделаем эскиз графика квадратичной функции y = 2x² – 12x + 10 (см. рисунок).

Нулями квадратичной функции y = ax² + bx + c являются корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Это уравнение может иметь два различных корня, два равных корня или не иметь действительных корней. Поэтому и соответствующая квадратичная функция может иметь два различных нуля, два равных нуля (или один нуль) или не имеет ни одного нуля.

Seotud sisu

Упражнения A

Как называется выражение в правой части этой формулы?
Ответ: правая часть формулы называется .
Как назывется каждый член правой части данной формулы?
Ответ: член –3x² – это , 24x – это и –36 есть .
Через какую точку оси ординат проходит график функции?
Ответ: график этой функции проходит через точку $L (;)$ оси ординат.
Куда (вверх или вниз) направлены ветви графика этой функции?
Ответ: ветви графика данной функции направлены .
Какая точка является вершиной графика данной функции?
Ответ: вершиной графика функции является точка $H (;)$ .
График какой функции вида у = ах² нужно сдвинуть и каким образом, чтобы получить график этой квадратичной функции?
Ответ: чтобы получить график этой квадратичной функции, нужно график функции сдвинуть вдоль оси Ох на единиц(ы) и вдоль оси Оу сдвинуть на единиц .

y = x² – 2x – 8
x₁ = ; x₂ =

y = 4x² – 4x + 1
x₁ = ; x₂ =

y = 4x² – 15x – 4
x₁ = ; x₂ =

y = 2x² – 6x + 14
x₁ = ; x₂ =

y = –3x² – 11x – 6
x₁ = ; x₂ =

y = 4x² – 16x + 16
x₁ = ; x₂ =

Ответ: $H (;)$ , x₁ = ; x₂ = .

Ответ: в результате сдвига получился график функции y = .

Найди для графика последней функции координаты его вершины и точки пересечения с осью Оу.

Ответ: $H (;)$ , $L (;)$

Ответ: вершина последнего графика есть $H (;)$ . Нулями функции y = x² + 2x являются и , а нулями функции y = –x² – 2x + 3 являются и .

Ответ: x₁ = ; x₂ = ; $H (;)$ ; $L (;)$ .

Ответ:; $H (;)$ ; $L (;)$ .

Ответ: b = .

Ответ: a =

Найди абсциссу вершины графика квадратичной функции, если даны нули функции.

Нули	Абсцисса вершины
x₁ = –2 и x₂ = 4	x_h =
x₁ = 105 и x₂ = 239	x_h =
x₁ = a и x₂ = b	x_h =

Известно, что квадратичная функция имеет два различных нуля. Опиши расположение графика квадратичной функции на координатной плоскости, если коэффициент а квадратичного члена:

a) a > 0;

б) a < 0.

Известно, что квадратичная функция имеет два равных нуля. Опиши расположение графика квадратичной функции на координатной плоскости, если коэффициент а квадратичного члена:

a) a > 0;

б) a < 0.

Известно, что квадратичная функция не имеет нулей. Опиши расположение графика квадратичной функции на координатной плоскости, если коэффициент а квадратичного члена:

a) a > 0;

б) a < 0.

y = 2x² + 2x – 4