Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей

$\frac{1992^{2} - 992^{2}}{1992 + 992}$ =

$\frac{{3,35}^{2} - {0,35}^{2}}{3,7}$ =

$\frac{42^{2} + 2 \cdot 42 \cdot 41 + 41^{2}}{42 + 41}$ =

$\frac{{3,4}^{2} + 2 \cdot 3,4 \cdot 0,6 + {0,6}^{2}}{4}$ =

Как мы знаем, при расширении или сокращении обыкновенной дроби ее значение не изменяется. Выясним, обладают ли этим свойством алгебраические дроби. Рассмотрим, например, выражение $\frac{x}{x - 1}$ и умножим его числитель и знаменатель на одночлен x. Сравним полученное выражение с первоначальным.

Вычисления сведем в таблицу.

Как мы видим, во всех случаях, когда можно вычислить соответствующие значения обоих выражений, во втором выражении можно сократить числитель и знаменатель на добавленное в качестве множителя значение х. Поэтому соответствующие значения двух рассматриваемых выражений являются равными. То же самое будет и в том случае, если числитель и знаменатель дроби разделить на некоторое выражение.

Подмеченное обстоятельство выражает основное свойство алгебраической дроби:

если числитель и знаменатель алгебраической дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля выражение, то полученная алгебраическая дробь будет равна исходной дроби.

Подчеркнем, что равенство дробей имеет место только для тех значений переменных, для которых можно вычислить значения обеих частей этого равенства. Например, равенство

$\frac{x}{x - 1} = \frac{x \cdot x}{(x - 1) \cdot x}$

выполнено только в случае, когда x ≠ 0 и x ≠ 1. Как уже отмечалось, в дальнейшем мы не будем добавлять к равенству такие ограничения.

Деление числителя и знаменателя дроби на их общий множитель называется сокращением дроби.

Обычно алгебраическую дробь стараются сократить. При этом действуют так:

раскладывают на множители записанные в числителе и знаменателе дроби целые выражения;
сокращают числовые коэффициенты числителя и знаменателя;
сокращают содержащие переменные степени с одинаковым основанием.

Если знаменателем полученной дроби оказывается число 1, то результат записывают без черты дроби.

Сокращение дроби можно производить только тогда, когда ее числитель и знаменатель разложены на множители, т. е. представлены в виде произведений.

$\frac{12 x y^{3}}{8 x^{2} y^{2}}$ = $\frac{\overset{3}{12} \overset{1}{x} \overset{y}{y^{3}}}{\underset{2}{8} \underset{x}{x^{2}} \underset{1}{y^{2}}}$ = $\frac{3 y}{2 x}$

$\frac{2 x^{2} y - 4 x y}{2 x^{2} y}$ = $\frac{\overset{1}{2} \overset{1}{x} \overset{1}{y} (x - 2)}{\underset{1}{2} \underset{x}{x^{2}} \underset{1}{y}}$ = $\frac{x - 2}{2}$

$\frac{2 a b^{2} c - 2 b^{2} c^{2}}{6 b^{3} c - 6 a b^{3}}$ = $\frac{2 b^{2} c (a - c)}{6 b^{3} (c - a)}$ = $\frac{\overset{1}{2} \overset{1}{b^{2}} c \overset{1}{(a - c)}}{\underset{- 3}{- 6} \underset{b}{b^{3}} \underset{1}{(a - c)}}$ = $\frac{c}{- 3 b}$ = $- \frac{c}{3 b}$

В этом примере использованы соотношения b − a = −(a − b) и $\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}$ .

$\frac{2 x^{2} - 50}{10 + 2 x}$ = $\frac{2 (x^{2} - 25)}{2 (5 + x)}$ = $\frac{\overset{1}{2} (x - 5) \overset{1}{(x + 5)}}{\underset{1}{2} \underset{1}{(x + 5)}}$ = $\frac{x - 5}{1}$ = $x - 5$

Сократим дробь $\frac{x (x + 1) - 2}{(x + 1) (x + 2)}$ .

Чтобы сокращение стало возможным, разложим на множители числитель дроби.

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

Получим: x(x + 1) – 2 = x² + x – 2.

Так как корнями квадратного уравнения x² + x – 2 = 0 являются x₁ = 1 и x₂ = –2, то x² + x – 2 = (x – 1)(x + 2).

Следовательно,

$\frac{x (x + 1) - 2}{(x + 1) (x + 2)}$ = $\frac{x^{2} + x - 2}{(x + 1) (x + 2)}$ = $\frac{(x - 1) \overset{1}{(x + 2)}}{(x + 1) \underset{1}{(x + 2)}}$ = $\frac{x - 1}{x + 1}$

Seotud sisu

Упражнения A

$\frac{6 a}{4}$ = $\frac{}{}$

$\frac{12 a}{8}$ = $\frac{}{}$

$\frac{6}{2 a}$ = $\frac{}{}$

$\frac{9 a}{15 b}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a b^{2}}{a b c}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a^{3} b^{3} c}{a b c}$ = $\frac{}{}$

$\frac{9 a x}{15 a^{2}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{8 a^{2} x}{4 a x}$ = $\frac{}{}$

$\frac{u^{2} - 2 u}{u^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} + 4 x}{4 x}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a^{3} - 2 a}{a^{3}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{25 x y}{25 x y + 10 x^{2} y}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{16 a^{2}}{2 a b - 16 a^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a b}{a^{2} b - a b}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a x - a y}{m x - m y}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{3 m - m n}{3 n - n^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} + x y}{2 x + 2 y}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{3 a + 3 b}{3 a x + 3 b x}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x - y}{2 x - 2 y}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a b + a c}{b + c}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{2 a b - 2 a c}{4 a^{2} c - 4 a^{2} b}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{6 x^{2} - 3 x}{y - 2 x y}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{4 x^{2} + 8 x y}{2 y^{3} + x y^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{12 u^{3} - 24 u^{2} v}{8 u v - 4 u^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{9 m^{2} + 3 m}{4 n + 12 m n}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{5 x^{2} - 10 x y}{30 x^{2} y - 15 x^{3}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{2 x^{3} + x^{2} y - x^{2}}{2 y - 2 y^{2} - 4 x y}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{3} y + x^{2} y + x y}{x y + y + x^{2} y}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{6 a^{3} + 4 a^{2} b - 2 a^{3} b}{a b^{3} - 3 a b^{2} - 2 b^{3}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a + b}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a - b}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} - y^{2}}{2 x + 2 y}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} - y^{2}}{a x + a y}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{m^{2} - 25}{2 m + 10}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{3 m + n}{9 m^{2} - n^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{m n - n^{2}}{m^{2} - n^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a x^{2} - a y^{2}}{a^{2} x + a^{2} y}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{m^{2} - 16 n^{2}}{m + 4 n}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a^{2} b + 4 b^{3}}{a b + 2 b^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{9 x^{2} y + y}{y^{2} + 3 x y^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{16 b + a^{2} b}{4 b^{2} - a b^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{4 x^{2} - 1}{2 - 4 x}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a^{2} - 9 b^{2}}{6 b - 2 a}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{4 m - 1}{1 - 16 m^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

(a – b)² = (b – a)²

(–a – b)² = (a + b)²

$\frac{{(a - b)}^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(b - a)}^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{4 x^{2} - 1}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(1 - 2 x)}^{2}}{4 x^{2} - 1}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(a + b)}^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(- a - b)}^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{9 m^{2} - n^{2}}{{(3 m + n)}^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{9 m^{2} - n^{2}}{{(- 3 m - n)}^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a + 1}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 2}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(n^{2} + 6 n + 9)}^{2}}{{(n + 3)}^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{4 m^{2} + 4 m n + n^{2}}{6 m + 3 n}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{m^{2} - 4 m n + 4 n^{2}}{m^{2} - 4 n^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(4 u^{2} + 12 u + 9)}^{2}}{2 {(2 u + 3)}^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{9 x^{2} + 4 y^{2} - 12 x y}{9 x^{2} - 4 y^{2}}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{2 a x y - a x^{2}}{x^{2} + 4 y^{2} - 4 x y}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} - x - 2}{2 x + 2}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{3 x - 3}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{2 x^{2} - 11 x + 5}{2 x - 1}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(4 x + 1)}^{2}}{8 x^{2} - 2 x - 1}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{8 x^{2} - 2 x - 1}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(3 t + 4)}^{2}}{3 t^{2} - 11 t - 20}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{2 u^{2} + 7 u - 15}{u^{2} + 4 u - 5}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{4 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} - 4 x - 5}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{2 s^{2} - 5 s - 25}{2 s^{2} + 3 s - 5}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x (x + 1) - 6}{(x + 1) (x - 2)}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x (x - 2) - 3}{(x - 2) (x - 3)}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x (x + 3) + 2}{(x + 3) (x + 2)}$ = $\frac{}{}$ = $\frac{}{}$

Seotud sisu

Упражнения Б

$\frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{a + b + c}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a^{2} - {(b + c)}^{2}}{a - b - c}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{a^{2} - {(b + c)}^{2}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} - 1}{x + y - 1}$ = $\frac{}{}$

$\frac{4 x^{2} y^{2} - 4 x y + 1}{2 x y - 1}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} + y^{2} + 2 x y - 1}{x^{2} - {(y + 1)}^{2}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(x^{2} - x y + y^{2})}^{2} - x^{2} y^{2}}{{(x^{2} + x y + y^{2})}^{2} - x^{2} y^{2}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(a^{2} + a b + b^{2})}^{2} - {(a^{2} - a b + b^{2})}^{2}}{{(a^{2} + a b - b^{2})}^{2} - {(a^{2} - a b - b^{2})}^{2}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a^{2} + 4 a + k}{a + 4}$ ; ; k =

$\frac{x^{2} - 2 x + k}{x - 4}$ ; ; k =

$\frac{x^{2} + k x - 24}{x + 6}$ ; ; k =

$\frac{x^{2} - k x + 10}{x + 2}$ ; ; k =

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Основное свойство алгебраичес­кой дроби. Сокращение дробей

Seotud sisu

Упражнения A

Seotud sisu

Упражнения Б

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей