Определители

В предыдущем параграфе мы вспомнили различные приемы решения систем уравнений. Как мы убедились, решение систем линейных уравнений как способом подстановки, так и способом сложения выполняется по весьма сходным схемам. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли получить общие формулы для решения любых систем линейных уравнений.

Задание 309. Взаимное расположение прямых

имеет единственное решение;
имеет бесконечное множество решений;
не имеет решений?

Задание 310. Исследование системы линейных уравнений

$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ .

Решите эту систему способом подстановки, выразив, например, из первого уравнения переменную y и подставив найденное выражение во второе уравнение.
Запишите решение системы уравнений и исследуйте его. Какие дополнительные условия нужно наложить, чтобы можно было вычислить x; вычислить y?
Сравните между собой выражения для вычисления x и y. Что у них общего? Чем они отличаются? Какие коэффициенты отсутствуют в числителе выражения для вычисления x, а какие – в числителе выражения для y? Какие коэффициенты отсутствуют в знаменателе?
Опишите формулы решения в терминах исходной системы уравнений.
С помощью полученных формул запишите решение системы уравнений

\{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x + 2 y = 4 \end{cases}

.

Ответ: x = , y = .

Seotud sisu

Определитель второго порядка. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей второго порядка

Решив задачу 310, мы выяснили, что решение системы линейных уравнений

(1) $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ можно выразить следующими формулами:

$x = \frac{c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}$ и $y = \frac{a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}$ .

Чтобы облегчить запоминание этих формул, их обычно представляют в таком виде, в котором лучше проявляется сходство с расположением коэффициентов при неизвестных в исходной системе уравнений:

$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}|$ ; $c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1} = |\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}|$ ; $a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1} = |\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}|$ .

Такие выражения имеют специальное наименование.

Выражение вида ad - bc называется определителем второго порядка и обозначается таблицей, состоящей из двух строк и двух столбцов:

$|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c$ .

Решение системы линейных уравнений (1) можно записать с помощью определителей в следующем виде:

$x = \frac{|\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}|}$ ; $y = \frac{|\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}|}$ .

В знаменателях обеих дробей стоит один и тот же определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных. Этот определитель называется определителем системы линейных уравнений и обозначается символом D. Определители, стоящие в числителях дробей, обозначаются соответственно D_x и D_y. Определитель D_x получается из определителя системы D, если в нем столбец из коэффициентов при x заменить на столбец из свободных членов. Точно так же определитель D_y получается из определителя D путем замены столбца из коэффициентов при y на столбец из свободных членов.

Таким образом, решение системы линейных уравнений $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ можно записать в виде $x = \frac{D_{x}}{D}$ и $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Очевидно, что значения неизвестных x и y можно вычислить, или, другими словами, система имеет единственное решение, если D\ne0.

Пример. Решим с помощью определителей систему уравнений

\{\begin{cases} 3 x - y = 5 \\ - 2 x - 3 y = 4 \end{cases}

.

Определитель системы

$D = |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{matrix}|$ = $3 \cdot (- 3) - (- 1) \cdot (- 2)$ = $- 11$ .

Так как D\ne0, то система уравнений имеет единственное решение. $D_{x} = |\begin{matrix} 5 & - 1 \\ 4 & - 3 \end{matrix}|$ = $5 \cdot (- 3) - (- 1) \cdot 4$ = $- 11$ ;

$D_{y} = |\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 2 & 4 \end{matrix}|$ = $3 \cdot 4 - 5 \cdot (- 2)$ = $22$ .

Значит,

$x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{- 11}{- 11} = 1$ и $y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{22}{- 11} = - 2$ .

Ответ: (1; −2).

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 311. Определители второго порядка

$|\begin{matrix} 3 & 1 \\ - 2 & 5 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} - 4 & 10 \\ 0 & 8 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 7 \end{matrix}|$ =

Задание 312. Решение системы линейных уравнений с помощью определителей второго порядкаl

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 5 \\ 3 x - 2 y = 1 \end{cases}$

D =

D_x =

D_y =

Ответ: (; ).

\{\begin{cases} 4 x + 3 y = 8 \\ 6 x + 2 y = 12 \end{cases}

D =

D_x =

D_y =

Ответ: (; ).

\{\begin{cases} - 7 x + y = 4 \\ 3 x + y = 9 \end{cases}

D =

D_x =

D_y =

Ответ: (; ).

\{\begin{cases} x - y - 5 = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{cases}

D =

D_x =

D_y =

Ответ: (; ).

\{\begin{cases} 2 x - y - 2 = 0 \\ x + y - 1 = 0 \end{cases}

D =

D_x =

D_y =

Ответ: (; ).

\{\begin{cases} 6 x - 5 y - 12 = 0 \\ 2 x - 3 y - 8 = 0 \end{cases}

D =

D_x =

D_y =

Ответ: (; ).

\{\begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{x + 5 y}{2} = \frac{y}{5} - 4 \frac{4}{5} \\ \frac{x - y}{2} = x + 2 \end{cases}

D =

D_x =

D_y =

Ответ: (; ).

\{\begin{cases} \frac{x - 3 y}{4} - 2 x = - 7 - \frac{y + 5}{3} \\ \frac{10 (x - y) - 4 (1 - x)}{3} = y \end{cases}

D =

D_x =

D_y =

Ответ: (; ).

Seotud sisu

Если D = 0

Как мы уже выяснили, если определитель системы D\ne0, то система линейных уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение. В этом случае a₁b₂ ≠ a₂b₁, или \frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}.Графически это означает, что соответствующие прямые пересекаются в одной точке (рис. 3.3 а).

Рис. 3.3 а) б) в)

Исследуем теперь случай, когда D=0. Неизвестные x и y выражаются из уравнений(a₁b₂ – a₂b₁)x = c₁b₂ – c₂b₁ и (a₁b₂ – a₂b₁)y = a₁c₂ – a₂c₁.При условии D=0 (т. е.

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}

) эти уравнения принимают вид 0 ⋅ x = D_x и 0 ⋅ y = D_y.

Уравнение 0 ⋅ x = D_x имеет бесконечное множество решений, если D_x = 0 (0 ⋅ x = 0) т. е. при c₁b₂ = c₂b₁, или при $\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ . Учитывая, что $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ , мы получаем пропорции $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ . Поэтому имеет место также равенство $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ , или D_y = 0. Следовательно, уравнение 0 ⋅ y = D_y, также имеет бесконечное множество решений. Графически этому случаю соответствует пара совпадающих прямых (т. е. оба уравнения задают одну и ту же прямую). Наконец, если прямые, задаваемые уравнениями системы совпадают, то коэффициенты при неизвестных, а также свободные члены в этих уравнениях пропорциональны (рис. 3.3 б).
Уравнение 0 ⋅ x = D_x не имеет решений, если D_x ≠ 0, т.е. если $\frac{c_{1}}{c_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ . Учитывая еще и условие D = 0, мы получаем, что $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ . Убедитесь самостоятельно, что если D_x ≠ 0, то и D_y ≠ 0. Если система уравнений не имеет решений, то прямые, соответствующие этим уравнениям, параллельны. В случае же параллельных прямых коэффициенты при неизвестных в уравнениях пропорциональны, но они не пропорциональны свободным членам (рис. 3.3 в).

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 313. Решения системы линейных уравнений

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 5 \\ 3 x + 2 y = 10 \end{cases}$

Единственное решение
Бесконечное множество решений
Не имеет решений

$\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 5 \\ 4 x - 6 y = 5 \end{cases}$

Единственное решение
Бесконечное множество решений
Не имеет решений

$\{\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Единственное решение
Бесконечное множество решений
Не имеет решений

$\{\begin{cases} x - y = 1 \\ 3 x - 3 y = 3 \end{cases}$

Единственное решение
Бесконечное множество решений
Не имеет решений

$\{\begin{cases} 3 x - y = 5 \\ 2 x + y = 1 \end{cases}$

Единственное решение
Бесконечное множество решений
Не имеет решений

$\{\begin{cases} x + y = 5 \\ 2 x + 2 y = 3 \end{cases}$

Единственное решение
Бесконечное множество решений
Не имеет решений

Задание 314. Значения параметра

$\{\begin{cases} (a - 4) x + 2 y = 4 \\ {(a - 4)}^{3} x + 4 a y = 16 \end{cases}$

имеет бесконечное множество решений?
Ответ: если a = .
не имеет решений?
Ответ: если a = или a = .
имеет единственное решение?
Ответ: если a ∈ ; a ≠ и a ≠ и a ≠ .

Задание 315. Значения параметров

$\{\begin{cases} 9 x + 10,5 y = b \\ 6 x + a y = 8 \end{cases}$

имеет единственное решение?
Ответ: если .
имеет бесконечное множество решений?Ответ: если .

Может ли эта система не иметь решений?Ответ:

Задание 316. Свойства определителей второго порядка

$|\begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} 5 & 6 \\ 6 & 5 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} - 4 & 7 \\ - 4 & 7 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} \sqrt{2} & 3 \\ \sqrt{2} & 3 \end{matrix}|$ =

Какой из определителей представляется здесь лишним?

1)
2)
3)
4)
5)

Что общего у остальных определителей?
Сформулируйте найденное свойство определителей второго порядка. Проверьте свою гипотезу еще на каких-нибудь примерах.
Докажите это свойство.

Задание 317. Свойства определителей второго порядка

$|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} 3 & 1 \\ 15 & 5 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} 4 & 8 \\ 2 & 4 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} - 3 & 7 \\ 6 & - 14 \end{matrix}|$ =

Каким общим свойством обладают эти определители?
Сформулируйте подмеченное свойство определителей второго порядка. Проверьте свою гипотезу еще на каких-нибудь примерах.
Докажите это свойство.

Задание 318. Свойства определителей второго порядка

$|\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix}|$ = и $|\begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & 4 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 3 & 5 \end{matrix}|$ = и $|\begin{matrix} - 3 & - 2 \\ - 9 & 5 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} 4 & - 1 \\ 16 & 5 \end{matrix}|$ = и $|\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 4 & 5 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 0 & 6 \end{matrix}|$ = и $|\begin{matrix} - 1 & 0, 5 \\ 0 & 6 \end{matrix}|$ =

Вычислите все эти определители.
Сравните значения определителей в каждой паре, а также элементы этих определителей. Каким образом из одного определителя получается другой определитель данной пары? Как изменяется при таком преобразовании значение определителя?
Проверьте свою гипотезу на примере еще каких-нибудь пар определителей. Сформулируйте соответствующее свойство определителя. Докажите это свойство.

Задание 319. Свойства определителей второго порядка

$|\begin{matrix} - 1 & 2 \\ - 7 & 3 \end{matrix}|$ = и $|\begin{matrix} - 7 & 3 \\ - 1 & 2 \end{matrix}|$ =

$|\begin{matrix} 5 & - 3 \\ 4 & 6 \end{matrix}|$ = и $|\begin{matrix} - 3 & 5 \\ 6 & 4 \end{matrix}|$ =

Составьте еще какие-нибудь пары определителей, обладающие таким свойством. Сформулируйте это свойство определителя.

Задание 320. Свойства определителей второго порядка

Задание 321. Доказательство

$\{\begin{cases} 4 x - 6 y = a \\ 2 x - 3 y = 1 \end{cases}$

\{\begin{cases} (4 - a) x + y = - a \\ (2 a - 8) x - 2 y = a \end{cases}

Задание 322. Доказательство

\{\begin{cases} (a + 1) x + y = 0 \\ x + (a^{2} - a + 1) y = 1 \end{cases}

Seotud sisu

Определители третьего порядка

Определителем третьего порядка называется выражениеa₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ – a₃b₂c₁ – a₂b₁c₃ – a₁b₃c₂,которое обозначается таблицей, имеющей три строки и три столбца:

| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} |

.

Определитель третьего порядка задается девятью числами, которые называются элементами определителя. Элементы a₁ , b₂ и c₃ образуют главную диагональ определителя, а элементы a₃ , b₂ и c₁ – побочную диагональ. Для вычисления определителя третьего порядка можно воспользоваться так называемым правилом Саррюса. Это правило можно наглядно представить в виде следующей схемы:

Пример.

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 323. Определители третьего порядка

$|\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & - 2 \\ - 2 & 5 & 3 \end{array}|$ = =

$|\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & - 1 \end{array}|$ = =

$|\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}|$ = =

$|\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 \end{array}|$ = =

$|\begin{array}{rrr} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{array}|$ = =

|\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & - 2 \\ 4 & 1 & 0 \end{array}|

= =

|\begin{array}{rrr} a - 1 & a & 0 \\ a^{3} - 1 & a + 1 & - 1 \\ a^{2} - 1 & a^{2} + a + 1 & a \end{array}|

= =

|\begin{array}{rrr} 6 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 8 \end{array}|

= =

Задание 324. Решение уравнения

|\begin{array}{rrr} x & x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ x & - 5 & 0 \end{array}| = 0

x₁ = ; x₂ =

$|\begin{array}{rrr} x & - 1 & x + 7 \\ 2 & x & 0 \\ 0 & - 1 & 4 \end{array}| = 0$

x₁ = ; x₂ =

Задание 325. Свойства определителей третьего порядка

|\begin{array}{rrr} 1 & 7 & 4 \\ - 1 & 0 & 2 \\ 7 & 1 & 1 \end{array}| = |\begin{array}{rrr} 1 & - 1 & 7 \\ 7 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}|

$|\begin{array}{rrr} 1 & 7 & 4 \\ - 1 & 0 & 2 \\ 7 & 1 & 1 \end{array}| = - |\begin{array}{rrr} - 1 & 0 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 7 & 1 & 1 \end{array}|$

$|\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 12 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}| = 2 \cdot |\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 6 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}|$

$|\begin{array}{rrr} 12 & 1 & 8 \\ 15 & 0 & 12 \\ - 24 & 2 & - 4 \end{array}| = 3 \cdot 4 \cdot |\begin{array}{rrr} 4 & 1 & 2 \\ 5 & 0 & 3 \\ - 8 & 2 & - 1 \end{array}|$

Задание 326. Сведение определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка

$|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}| = a_{1} \cdot |\begin{matrix} b_{2} & c_{2} \\ b_{3} & c_{3} \end{matrix}| - b_{1} \cdot |\begin{matrix} a_{2} & c_{2} \\ a_{3} & c_{3} \end{matrix}| + c_{1} \cdot |\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3} \end{matrix}|$

Убедитесь на примерах в справедливости этой формулы. Выведите эту формулу из правила Саррюса.
Запишите аналогичную формулу для элементов второй строки определителя.

Задание 327. Сведение определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка

|\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ - 3 & 0 & - 1 \end{array}|

=

= · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ – · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ + · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ =

$|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 5 & 10 \\ 4 & 2 & 6 \end{array}|$ =

= · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ – · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ + · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ =

$|\begin{array}{rrr} 8 & - 3 & - 1 \\ 4 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & 3 \end{array}|$ =

= · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ – · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ + · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ =

$|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & - 1 \\ 4 & 0 & 5 \end{array}|$ =

= · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ – · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ + · $|\begin{array}{rr} \end{array}|$ =

Seotud sisu

Свойства определителей

При решении предыдущих задач мы убедились, что определители второго и третьего порядка обладают одинаковыми свойствами. Подытожим эти свойства, записав их для определителей третьего порядка.

1. Значение определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями (не меняя в них порядка расположения элементов).

2. Перестановка двух строк (столбцов) изменяет знак определителя на противоположный.

3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю.

4. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) на какое-нибудь число равносильно умножению определителя на это число.

Следствие. Если все элементы некоторой строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Последнее свойство вытекает из свойств 3 и 4.

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 328. Доказательство

Свойство 1. Значение определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями (не меняя в них порядка расположения элементов).

Свойство 2. Перестановка двух строк (столбцов) изменяет знак определителя на противоположный.

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) на какое-нибудь число равносильно умножению определителя на это число.

Задание 329. Свойства определителей

Задание 330. Свойства определителей

Задание 331. Свойства определителей

$|\begin{array}{rrr} 28 & 49 & 56 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}|$ =

$|\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \\ 9 & 3 & 12 \end{array}|$ =

$|\begin{array}{rrr} 5 & 1 & - 2 \\ 1 & - 2 & 4 \\ 1 & 3 & - 6 \end{array}|$ =

$|\begin{array}{rrr} 1 & 5 & - 6 \\ 0 & - 25 & 2 \\ 5 & 0 & 12 \end{array}|$ =

$|\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18 \end{array}|$ =

$|\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 12 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}|$ =

Задание 332. Свойства определителей

$|\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}|$ =

$|\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 \end{array}|$ =

$|\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}|$ =

$|\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}|$ =

Что общее можно заметить у этих определителей?
Какое свойство определителей можно сформулировать на основании этих примеров? Докажите это свойство.
Справедливо ли это свойство также и для побочной диагонали?

Задание 333. Свойства определителей

$|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} + r_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} + r_{2} \\ a 3 & b_{3} & c_{3} + r_{3} \end{matrix}| = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}| + |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & r_{1} \\ a_{2} & b_{2} & r_{2} \\ a_{3} & b_{3} & r_{3} \end{matrix}|$ .

Задание 334. Свойства определителей

$|\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}| = |\begin{matrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 \end{matrix}| = \dots = |\begin{matrix} 100 & 101 & 102 \\ 103 & 104 & 105 \\ 106 & 107 & 108 \end{matrix}| = 0$ .

Задание 335. Свойства определителей

Ответ: значение такого определителя равно .

Seotud sisu

Системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Система, состоящая из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y и z, может быть в общем виде записана следующим образом:

$\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{matrix}$ .

При решении систем линейных уравнений с тремя неизвестными можно пользоваться теми же приемами (способ сложения и способ подстановки), что и при решении систем линейных уравнений с двумя неизвестными. Исключением является лишь графический способ, так как мы пока еще не знаем, какое графическое истолкование можно дать линейному уравнению с тремя неизвестными.

Пример 1.

Решим способом сложения систему уравнений

$\{\begin{matrix} 3 x + 4 y - 3 z = 2 \\ - 3 x + 4 y + 3 z = 14 \\ x + 7 y + 5 z = 30 \end{matrix}$ .

Для этого сложим два первых уравнения системы:

$\begin{array}{cl} \{\begin{array}{r} 3 x + 4 y - 3 z \\ - 3 x + 4 y + 3 z \end{array} & \begin{array}{l} = 2 \\ = 14 \end{array} + \\ 8 y & = 16 \end{array} \begin{matrix} \Leftrightarrow & y = 2 \end{matrix}$ .

Теперь подставим найденное значение y = 2 в два уравнения системы (например, в первое и третье) и получим систему уравнений с двумя неизвестными:

$\{\begin{matrix} 3 x - 3 z = - 6 \\ x + 5 z = 16 \end{matrix} \begin{matrix} | : (- 3) \end{matrix}$ ⇔ $\begin{array}{r} \{\begin{matrix} - x + z = 2 \\ x + 5 z = 16 \end{matrix} + \\ 6 z = 18 \end{array} \begin{array}{cl} \Leftrightarrow & z = 3. \end{array}$

Подставив найденное значение z = 3 в одно из уравнений последней системы, получим, что x = 1. Чтобы сделать проверку, нужно найденные значения неизвестных подставить во все три уравнения исходной системы.

Ответ: x = 1; y = 2; z = 3, или (1; 2; 3).

Пример 2.

Решим способом сложения систему уравнений

$\{\begin{cases} x + y = 5 \\ y + z = 2 \\ x + z = 1 \end{cases}$ .

Сложим все три уравнения и получим: 2(x + y + z) = 8 или x + y + z = 4.

Теперь составим и решим три системы уравнений, которые получаются, если последнее уравнение объединить с одним из уравнений исходной системы:

$\begin{array}{r} \{\begin{matrix} x + y + z = 4 \\ x + y = 5 \end{matrix} \\ z = - 1 \end{array} \begin{array}{c} | \cdot (- 1) \end{array}$ ,

$\begin{array}{r} \{\begin{matrix} x + y + z = 4 \\ y + z = 2 \end{matrix} \\ x = 2 \end{array} \begin{array}{c} | \cdot (- 1) \end{array}$ ,

$\begin{array}{r} \{\begin{matrix} x + y + z = 4 \\ x + z = 1 \end{matrix} \\ y = 3 \end{array} \begin{array}{c} | \cdot (- 1) \end{array}$ .

Ответ: x = 2; y = 3; z = –1.

Пример 3.

Решим способом подстановки систему уравнений

$\{\begin{cases} 2 x - 3 y + z = 2 \\ x + 5 y - 4 z = - 5 \\ 4 x + y - 3 z = - 4 \end{cases}$ .

Выразим неизвестное z из первого уравнения: z = 2 – 2x + 3y и подставим полученное выражение в остальные уравнения:

$\{\begin{cases} x + 5 y - 4 (2 - 2 x + 3 y) = - 5 \\ 4 x + y - 3 (2 - 2 x + 3 y) = - 4 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{matrix} 9 x - 7 y = 3 \\ 10 x - 8 y = 2 \end{matrix} \begin{array}{l} | : 2 \end{array}$ ⇔ $\{\begin{cases} 9 x - 7 y = 3 \\ 5 x - 4 y = 1 \end{cases}$ .

Мы пришли к системе линейных уравнений с двумя неизвестными, которую решим также способом подстановки. Из второго уравнения получим $x = \frac{1 + 4 y}{5}$ и, после подстановки этого выражения вместо х в первое уравнение, найдем y = 6. Далее находим: $x = \frac{1 + 24}{5} = 5$ и z = 2 – 10 + 18 = 10.

Ответ: (5; 6; 10).

Задание 336. Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными способом сложения или способом подстановки

$\{\begin{cases} x + 3 y - z = 4 \\ 2 x + 5 y + z = 15 \\ 2 x - 10 y + 2 z = - 12 \end{cases}$

Ответ: (; ; ).

$\{\begin{cases} x - 4 y + z = - 22 \\ x + 4 y + 2 z = - 1 \\ x + 3 y + 2 z = - 4 \end{cases}$

Ответ: (; ; ).

$\{\begin{cases} 2 x + y = 5 \\ x + 3 z = 16 \\ 5 y - z = 10 \end{cases}$

Ответ: (; ; ).

$\{\begin{cases} x + y = 5 \\ y + z = 7 \\ 2 x + z = 8 \end{cases}$

Ответ: (; ; ).

$\{\begin{cases} x + 2 y = 1 \\ x + 3 y + 2 z = 1 \\ y - 2 z = 1 \end{cases}$

Ответ: (; ; ).

\{\begin{cases} x + y - z = 36 \\ x - y + z = 13 \\ - x + y + z = 7 \end{cases}

Ответ: (; ; ).

Как способ сложения, так и способ подстановки являются универсальными методами решения систем уравнений. Этими способами пользуются и при решении систем, в которых уравнения не являются линейными. В то же время, с помощью определителей можно решать только системы линейных уравнений.При решении системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей можно опираться на следующую .Теорема. Система линейных уравнений с тремя неизвестными(1)

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}

имеет единственное решение

$x = \frac{|\begin{matrix} d_{1} & b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|}$ , $y = \frac{|\begin{matrix} a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ a_{2} & d_{2} & c_{2} \\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|}$ , $z = \frac{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|}$

тогда и только тогда, когда определитель этой системы отличен от нуля, т. е.

$D = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}| \neq 0$ .

Обозначим определители, стоящие в числителях, через D_x, D_y и D_z. Тогда решение системы (1) можно записать в виде $x = \frac{D_{x}}{D}$ , $y = \frac{D_{y}}{D}$ , $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Если D = 0, то система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

Пример 4.

Решим с помощью определителей систему уравнений

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y - z = 4 \\ x - 2 y - 2 z = 5 \\ 3 x + y + z = 1 \end{cases}$ .

Прежде всего вычислим по правилу Саррюса значение определителя системы:

$D = |\begin{array}{rrr} 2 & 3 & - 1 \\ 1 & - 2 & - 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 1 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array}$ = $- 4 - 18 - 1 - (6 - 4 + 3)$ = $- 23 - 5$ = $- 28$ .

Так как D ≠ 0, то система имеет единственное решение. Получим:

$D_{x} = |\begin{array}{rrr} 4 & 3 & - 1 \\ 5 & - 2 & - 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}| \begin{array}{rr} 4 & 3 \\ 5 & - 2 \\ 1 & 1 \end{array}$ = $- 8 - 6 - 5 - (2 - 8 + 15)$ = $- 19 - 9$ = $- 28$ .

$D_{y} = |\begin{array}{rrr} 2 & 4 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}| \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 1 & 5 \\ 3 & 1 \end{array}$ = $10 - 24 - 1 - (- 15 - 4 + 4)$ = $- 15 + 15$ = $0$ .

$D_{z} = |\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 1 & - 2 & 5 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 1 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array}$ = $- 4 + 45 + 4 - (- 24 + 10 + 3)$ = $45 + 11$ = $56$ .

Таким образом, решением системы будет $x = \frac{- 28}{- 28} = 1$ , $y = \frac{0}{- 28} = 0$ , $z = \frac{56}{- 28} = -2$ .

Ответ: (1; 0; –2).

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 337. Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей

$\{\begin{cases} x - y + 2 z = 7 \\ 2 x - 3 y + 5 z = 17 \\ 3 x - 2 y - z = 12 \end{cases}$

D =

D_x =

D_y =

D_z =

Ответ: (; ; ).

$\{\begin{cases} x - 2 y + z = 0 \\ 3 x - y + 2 z = 0 \\ - x - 2 y + 3 z = 0 \end{cases}$

D =

D_x =

D_y =

D_z =

Ответ: (; ; ).

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y + 4 z = - 1 \\ 3 x - y - 5 z = 4 \\ x - 2 y - 3 z = 5 \end{cases}$

D =

D_x =

D_y =

D_z =

Ответ: (; ; ).

$\{\begin{cases} 5 x - 5 y - 6 z - 1 = 0 \\ 3 z - 13 x + 4 y - 1 = 0 \\ z + y + 7 x = 0 \end{cases}$

D =

D_x =

D_y =

D_z =

Ответ: (; ; ).

$\{\begin{cases} x + 2 y + 2 z = 3 \\ 2 x + 3 y + 5 z = 10 \\ 3 x + 7 y + 4 z = 3 \end{cases}$

D =

D_x =

D_y =

D_z =

Ответ: (; ; ).

$\{\begin{cases} 2 x + y + z + 1 = 0 \\ 2 x - y + z + 5 = 0 \\ 4 x + y + 4 z + 2 = 0 \end{cases}$

D =

D_x =

D_y =

D_z =

Ответ: (; ; ).

Задание 338. Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей

Задание 339. Значение параметра

$\{\begin{cases} 2 x - y + a z = 4 \\ x + 2 y - z = 3 \\ 4 x + 3 y + z = 5 \end{cases}$

Ответ: система уравнений не может иметь единственное решение при a = .

$\{\begin{cases} - 2 x + 5 y + 3 z = 6 \\ 3 x - y - 2 z = 3 \\ a x + 2 y + z = 4 \end{cases}$

Ответ: система уравнений не может иметь единственное решение при a = .

Задание 340. Покупка фруктов

Ответ: килограмм яблок стоил €, килограмм груш – € и килограмм бананов – €.

Задание 341. Посещение кафе

Ответ: подруги заплатили вместе €.

Задание 342. Трехзначное число

Ответ: это число равно .

Задание 343. Диски DVD

Ответ: дисков DVD у Коли , у Пети и у Андрея .

Задание 344. Путь от поселка А до поселка В

Ответ: Герасим шел в гору со скоростью км/ч, по ровной дороге со скоростью км/ч и под гору со скоростью км/ч.

Задание 345. Отец и три сына

Ответ: отцу сейчас лет, старшему сыну лет, среднему сыну лет и младшему сыну лет.

Задание 346. Соотношение между суммой чисел в кружках и суммой чисел в квадратах

Рис. 3.4

Существуют ли другие решения? Почему?

Найдите сумму всех чисел, записанных в кружках. Сравните ее с суммой чисел, стоящих в квадратах. Что Вы подметили?
Запишите в квадраты новые числа 5, 6 и 19 (в произвольном порядке). Ответьте снова на вопросы пунктов 1–3. В каком соотношении находятся сумма S_ring всех чисел в кружках и сумма S_ruut всех чисел в квадратах? Запишите это соотношение и обоснуйте его, обозначив числа, стоящие в квадратах, через a, b и c.
Подберите для квадратов некоторые другие числа самостоятельно и проверьте справедливость полученного соотношения.
Каким условиям должны удовлетворять стоящие в квадратах числа, чтобы в кружках получались всегда только целые числа?
Каким условиям должны удовлетворять стоящие в квадратах числа, чтобы в одном из кружков получалось число 0?
Каким условиям должны удовлетворять стоящие в квадратах числа, чтобы в кружках получались только положительные целые числа? Приведите для этого случая три примера.

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Определители

Задание 309. Взаимное расположение прямых

Задание 310. Исследование системы линейных уравнений

Seotud sisu

Определитель второго порядка. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей второго порядка

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 311. Определители второго порядка

Задание 312. Решение системы линейных уравнений с помощью определителей второго порядкаl

Seotud sisu

Если D = 0

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 313. Решения системы линейных уравнений

Задание 314. Значения параметра

Задание 315. Значения параметров

Задание 316. Свойства определителей второго порядка

Задание 317. Свойства определителей второго порядка

Задание 318. Свойства определителей второго порядка

Задание 319. Свойства определителей второго порядка

Задание 320. Свойства определителей второго порядка

Задание 321. Доказательство

Задание 322. Доказательство

Seotud sisu

Определители третьего порядка

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 323. Определители третьего порядка

Задание 324. Решение уравнения

Задание 325. Свойства определителей третьего порядка

Задание 326. Сведение определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка

Задание 327. Сведение определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка

Seotud sisu

Свойства определителей

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 328. Доказательство

Задание 329. Свойства определителей

Задание 330. Свойства определителей

Задание 331. Свойства определителей

Задание 332. Свойства определителей

Задание 333. Свойства определителей

Задание 334. Свойства определителей

Задание 335. Свойства определителей

Seotud sisu

Системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Задание 336. Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными способом сложения или способом подстановки

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 337. Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей

Задание 338. Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей

Задание 339. Значение параметра

Задание 340. Покупка фруктов

Задание 341. Посещение кафе

Задание 342. Трехзначное число

Задание 343. Диски DVD

Задание 344. Путь от поселка А до поселка В

Задание 345. Отец и три сына

Задание 346. Соотношение между суммой чисел в кружках и суммой чисел в квадратах

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid