Синус, косинус и тангенс острого угла

Из курса основной школы мы знаем, как найти синус, косинус и тангенс острого угла. Если α – острый угол прямоугольного треугольника ABC (рис. 4.10), то эти величины выражаются следующим образом:

$sin α = \frac{a}{c}$ , $cos α = \frac{b}{c}$ , $tan α = \frac{a}{b}$ .

Рис. 4.10

Сформулируйте соответствующие определения!

При этом

0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1, 0 < tan α.

Пример 1.

Катеты прямоугольного треугольника a = 3, b = 4 и гипотенуза c = 5. Найдем sin α, cos α и tan α.

Согласно определениям получим:

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}=0,6, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c}=\frac{4}{5}=0,8 и \tan\mathrm{\alpha}=\frac{a}{b}=\frac{3}{4}=0,75.

В прямоугольном треугольнике α + β = 90° и потому говорят, что угол α дополняет угол β до 90°, а угол β дополняет угол α до 90°. Говорят также, что углы α и 90° – α являются (взаимно) дополнительными углами, а точнее, дополняющими друг друга до 90°. Рассмотрим теперь, как связаны между собой синус, косинус и тангенс взаимно дополнительных углов. Так как\sin\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c}=\cos\mathrm{\beta}, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c}=\sin\mathrm{\beta} и \tan\mathrm{\alpha}=\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}=\frac{1}{\tan\mathrm{\beta}}, то

$sin (90 ° - α) = cos α$ , $cos (90 ° - α) = sin α$ ,

tan (90 ° - α) = \frac{1}{tan α}

Полученные формулы называются формулами дополнительного угла.

Синус угла равен косинусу дополнительного угла;
косинус угла равен синусу дополнительного угла;
тангенс угла равен обратному значению тангенса дополнительного угла.

Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°.

Для этого построим прямоугольный треугольник, один из углов которого равен 30°. Начнем построение с равностороннего треугольника ABC. Пусть длина стороны этого треугольника равна a (рис. 4.11). Проведем высоту h, которая разбивает равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника, в которых один из углов как раз и равен 30°. Из треугольника ABD получим, что AD=0,5\cdot AC=0,5a и h=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.

Рис. 4.11

Согласно определениям синуса, косинуса и тангенса острого угла:

\sin30\degree=\frac{AD}{AB}=0,5a\ :\ a=\frac{1}{2},
\cos30\degree=\frac{h}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}:\ a=\frac{\sqrt{3}}{2},
\tan30\degree=\frac{AD}{h}=\frac{0,5a}{0,5a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Так как в прямоугольном треугольнике ABD второй острый угол равен 60°, то с помощью формул дополнительного угла получим:

\sin60\degree=\cos30\degree=\frac{\sqrt{3}}{2},
\cos60\degree=\sin30\degree=\frac{1}{2},
\tan60\degree=\frac{1}{\tan\left(90\degree-60\degree\right)}=\frac{1}{\tan30\degree}=1:\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.

Пример 2.

Найдем значение выражения sin 30° + cos 30° (tan 60° – tan 30°). Учитывая только что полученные результаты, имеем:

sin 30° + cos 30°(tan 60° – tan 30°) = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1,5.

Найдем теперь синус, косинус и тангенс угла 45°.

Воспользуемся равнобедренным прямоугольным треугольником, катет которого равен a (рис. 4.12). Тогда α = β = 45° и гипотенуза c=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}.

Поэтому

\sin45\degree=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},
\cos45\degree=\sin\left(90\degree-45\degree\right)=\sin45\degree=\frac{\sqrt{2}}{2},
\tan45\degree=\frac{a}{a}=1.

Рис. 4.12

Полученные результаты представим в виде таблицы:

Выясним, как изменяются значения синуса, косинуса и тангенса при увеличении угла.

Рис. 4.13

На рисунке 4.13 изображены прямоугольные треугольники с одной и той же гипотенузой c. При увеличении угла α увеличивается и длина противолежащего ему катета (a₁ < a₂ < a₃), откуда следует, что увеличиваются и значения \frac{a}{c}=\sin\mathrm{\alpha}.

Рассуждая аналогично, мы получаем, что при увеличении угла α значения \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c} уменьшаются, так как уменьшается длина прилежащего к этому углу катета (AC₁ > AC₂ > AC₃).

Рис. 4.14

Из рисунка 4.14 видно, что при увеличении угла α значения tan α также увеличиваются, так как прилежащий катет АС = b не изменяется, а длина противолежащего катета увеличивается (CB₁ < CB₂ < CB₃).

Таким образом,

при увеличении угла α значения sin α также увеличиваются, значения cos α уменьшаются и значения tan α увеличиваются.

Зная одно из значений: либо sin α, либо cos α, либо tan α, можно построить угол α.

Пример 3.

Построим угол α, если: 1) cos α = 0,625; 2) tan α = 1,5.

Так как \cos\mathrm{\alpha}=0,625=\frac{625}{1000}=\frac{5}{8}, то нужно построить прямоугольный треугольник, в котором прилежащий к углу α катет равен 5 единицам длины, а гипотенуза – 8 единицам длины. Для этого начертим прямой угол ABC (рис. 4.15), отложим от его вершины В 5 единиц (длина катета) и из полученной точки А, как из центра, проведем дугу окружности с радиусом в 8 единиц. Пересечение этой дуги со второй стороной угла и будет третья вершина С прямоугольного треугольника АВС. В этом треугольнике угол α будет искомым, поскольку \cos\mathrm{\alpha}=\frac{5}{8}.

Рис. 4.15

Так как \tan\mathrm{\alpha}=1,5=\frac{3}{2}, то достаточно построить прямоугольный треугольник, катеты которого имеют соответственно 3 и 2 единицы в длину (или относятся как 3 : 2). Для этого начертим прямой угол ABC (рис. 4.16) и отложим на его сторонах от вершины В катеты длиной в 2 и 3 единицы. Получим точки A, B и прямоугольный треугольник АВС, в котором угол α расположен при вершине А. Так как \tan\mathrm{\alpha}=\frac{3}{2}, то мы получили искомый угол.

Рис. 4.16

Seotud sisu