Некоторые фигуры (круг, зубчатая шестерня и т. п.) могут вращаться в двух противоположных направлениях. В математике положительным направлением вращения считается такое, которое происходит против движения часовой стрелки. Отрицательным направлением считается направление вращения, совпадающее с направлением движения часовой стрелки (рис. 5.1 и 5.2).
 Рис. 5.1 | ||||||
 Рис. 5.2 | ||||||
Например, на рисунке 5.2 шестерня А вращается в отрицательном, а шестерня В – в положительном направлении.
Повернем луч BA вокруг точки B на 30° в положительном направлении (рис. 5.3), а луч ED – вокруг точки E на 45° в отрицательном направлении (рис. 5.4). Начальное положение луча, с которого начинается вращение (BA и ED), называется начальной стороной угла (или неподвижной стороной), а конечное положение (BC и EF) – конечной стороной угла (или подвижной стороной).
Поскольку угол ABC образуется при повороте луча в положительном направлении, то такой угол естественно назвать положительным углом. Величину этого угла выражают положительным числом. Таким образом, угол ABC равен +30° (или просто 30°). Угол, образованный вращением луча в отрицательном направлении, называется отрицательным углом. Величину отрицательного угла выражают отрицательным числом. Следовательно, угол DEF равен –45°.
На чертежах положительные и отрицательные углы обозначаются дугой со стрелкой, указывающей направление поворота (рис. 5.3 и 5.4).
Будем вращать луч вокруг начальной точки в положительном направлении. Тогда в каждый момент времени этот луч образует некоторый угол со своим первоначальным направлением. Например, в положении OB (рис. 5.5) луч, вращающийся в положительном направлении, составляет с начальным положением OA угол AOB, равный 60°. Чтобы снова оказаться в первоначальном положении OA, луч должен пройти полный угол в 360°. При дальнейшем вращении луча возникают углы, бóльшие 360°. Так, положение OB означает при втором повороте луча угол в 60° + 360° = 420°, при третьем повороте – угол в 60° + 2 · 360° = 780° и т. д.
 Рис. 5.5 | ||||||
Наши рассуждения показывают, что в случае положительных углов один и тот же чертеж может изображать углы разной величины, отличающиеся на целое число полных оборотов, т. е. на k ⋅ 360° (k = 0, 1, 2, 3, ...). Таким образом, всякий положительный угол представляется в виде
α + k · 360°, где 0° ≤ α < 360° и k = 0, 1, 2, 3, ....
Пример 1.
Представим в указанном выше виде угол в 1132°.
Решение. Так как 1132 : 360 = 3, остаток 52, то 1132° = 52° + 3 · 360°. Значит, α = 52° и k = 3.
Убедимся теперь, что и отрицательные углы представляются в виде α + k ⋅ 360°, где 0° ≤ α < 360°. Для этого рассмотрим углы, получающиеся при вращении минутной стрелки часов (рис. 5.6). За начальную сторону угла примем положение OA. Чтобы прийти в положение OB, стрелка должна пройти угол AOB, равный –210°. Закончив первый оборот, стрелка часов пройдет угол –360°. При дальнейшем вращении стрелки получаются отрицательные углы, меньшие –360°. Например, при втором обороте стрелки положению ОВ соответствует угол –210° – 360° = –570°, или (360° – 210°) – 2 ⋅ 360° = 150° – 2 ⋅ 360°, при третьем обороте – угол –210° – 2 ⋅ 360° = –930°, или (360° – 210°) – 3 ⋅ 360° = 150° – 3 ⋅ 360° и т. д.
 Рис. 5.6 | ||||||
Значит, в случае отрицательного угла один и тот же чертеж может также изображать углы разной величины, отличающиеся на k · 360° (k = –1, –2, –3, …). Поэтому всякий отрицательный угол можно представить в виде
α + k ⋅ 360°, где 0° ≤ α < 360°, k = – 1, – 2, – 3 ....
Пример 2.
Представим в описанном выше виде угол в –820°.
Решение. Так как 820 : 360 = 2, остаток 100, то
–820° = –100° – 2 ⋅ 360° = (360° – 100°) – 3 ⋅ 360° = 260° + (–3) ⋅ 360°.
В данном случае α = 260° и k = –3.
Сравнивая между собой общие выражения для представления положительных и отрицательных углов, мы видим, что разница только в значениях целого числа k (неотрицательное в первом случае и отрицательное во втором). Значит,
всякий угол х представляется в виде x = α + n ⋅ 360°, где 0° ≤ α < 360° и n ∈ Z.
Упражнения A
Задание 656. Положительное и отрицательное направления вращения
- вращается левое колесо автомобиля, если смотреть слева;
- вращается правое колесо автомобиля, если смотреть справа;
- нужно повернуть крышку пластиковой бутылки, чтобы открыть ее;
- вращается Земля, если смотреть со стороны северного полюса;
- нужно повернуть гайку, чтобы закрутить ее;
- едут автомобили по площади с круговым движением;
- бегут спортсмены по стадиону;
- пронумерованы четверти координатной плоскости?
Задание 657. Построение угла
Задание 658. Минутная стрелка часов
5 минут? | |||
10 минут? | |||
40 минут? | |||
45 минут? | |||
28 минут? | |||
1 минуту? |
Задание 659. Шкив электромотора
Ответ: за 1 секунду шкив поворачивается на
Задание 660. Внутренний угол правильного многоугольника
Многоугольник | Правильный пятиугольник | Правильный шестиугольник | Правильный восьмиугольник | Правильный 12-угольник |
Внутренний угол |
Задание 661. Углы β и γ
 Рис. 5.7 | ||||||
β =
γ =
Задание 662. Измерение углов
Задание 663. Построение угла
Задание 664. Угол в виде α + n ⋅ 360°
Задание 665. Положительные углы
x = 15° + n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °; x3 = °.
x = –300° + n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °; x3 = °.
x = –10° + n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °.
x = (–1)n ⋅ 120°+ n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °; x3 = °; x4 = °.
