Площадь треугольника

Выведем еще одну формулу, которая позволяет вычислить площадь треугольника по двум его сторонам и углу между ними.

Рассмотрим треугольник ABC (рис. 5.37) и проведем его высоту h. В случае остроугольного треугольника ABC получим из прямоугольного треугольника CAD, что

\sin\mathrm{\gamma}=\frac{h}{b} ⇒ h = b sin γ.

Если же ABC – тупоугольный треугольник, то из прямоугольного треугольника ACD получим, что

\sin\mathrm{\gamma}'=\frac{h}{b} ⇒ h = b sin γ'.

Так как γ' =180° – γ, то h = b sin (180° – γ) = b sin γ.

Поэтому в обоих случаях h = b sin γ, и после подстановки в формулу площади получим, что

или

Так как выведенная формула для вычисления площади треугольника справедлива для любых двух сторон и угла между ними, то можно записать еще две формулы:

S=\frac{1}{2}ac\sin\mathrm{\beta}  и  S=\frac{1}{2}bc\sin\mathrm{\alpha}.

Теперь нетрудно получить и новую формулу для вычисления площади параллелограмма. Диагональ (DB, рис. 5.38) разбивает параллелограмм на два равных треугольника: ΔABD = ΔCDB.