Eelnevas vaatlesime sõltuvusi
Ühine kõigile vaadeldud sõltuvustele on see, et on teada valem, mille järgi saame x igale väärtusele seada vastavusse y väärtuse. Teisiti öeldes, x ja y on omavahel seotud mingi kindla reegli järgi.
Meid ümbritsevas elus on mitmesuguseid vastavusi:
- igale inimesele vastab tema vanus aastates;
- igale Eesti Vabariigi kodanikule vastab tema isikukood;
- igale 11. klassi õpilasele vastab kindel järjenumber klassi nimekirjas;
- igale 11. klassi õpilasele vastab üks matemaatika hinne 10. klassi tunnistusel;
- igale autole vastab tähtedest ja numbritest koosnev registreerimismärk;
- igale ringile raadiusega r vastab kindel ringi pindala S jne.
Esitatud vastavuste puhul on alati tegemist kahe suurusega (näiteks inimene ja tema vanus, ringi raadius r ja ringi pindala S). Need suurused võivad omandada erinevaid väärtusi mingist hulgast. Näiteks inimeste vanuste korral kuulub üks suurus (inimene) Maal elavate inimeste hulka, teise suuruse (vanus) väärtused kuuluvad naturaalarvude hulka.
Kui x tähistab suvalist elementi mingist suuruste hulgast, siis öeldakse, et x on muutuv suurus ehk muutuja. Seega on vaadeldud vastavuste puhul tegemist kahe muutuva suurusega. Kui muutub üks nendest suurustest, siis muutub ka teine suurus. Näiteks kui valime välja õpilase A, vastab temale üks järjenumber klassi nimekirjast; kui valime teise õpilase B, vastab temale juba teine number jne. Ühte kahest vaadeldavast suurusest me muudame ise, kuid teine suurus muutub esimesest sõltuvalt.
Muutujat, millele me võime ise teatud hulgast vabalt väärtusi anda, nimetatakse sõltumatuks muutujaks. Muutujat, mille väärtused leitakse vastavalt sõltumatu muutuja väärtustele, nimetatakse sõltuvaks muutujaks.
Näiteks ringi raadiust r võime vaadelda sõltumatu muutujana ja selle ringi pindala S sõltuva muutujana, mille väärtus arvutatakse sõltuvalt r väärtusest eeskirja S = πr2 järgi. On olemas kindel eeskiri, mille alusel igale Eesti Vabariigi kodanikule (sõltumatu muutuja) seatakse vastavusse tema isikukood (sõltuv muutuja).
Mõned suurused meid ümbritsevas elus on sellised, mis küll mõlemad muutuvad, kuid ühe suuruse etteantud väärtus ei määra veel teise suuruse väärtust. Näiteks ei saa täpselt määratleda, kuidas on seotud inimese pikkuse muutumine ja tema kehakaalu muutumine või matemaatika õppimiseks kulutatud aeg ja saadud hinne.
Enamik eespool vaadeldud vastavustest olid aga sellised, et niipea kui sõltumatu muutuja väärtus on teada, on sõltuva muutuja väärtus üheselt määratud. Selliseid vastavusi nimetatakse funktsioonideks.
Funktsiooniks nimetatakse vastavust (eeskirja), mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgast X vastavusse sõltuva muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y.
Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Hulk Y, millesse kuuluvad sõltuva muutuja väärtused, peab sisaldama kõiki neid y väärtusi, mis vastavad kõikvõimalikele x väärtustele määramispiirkonnast X. Järgnevas eeldame, et muid elemente hulk Y ei sisalda, s.t hulga Y iga element vastab mingile x ∈ X väärtusele. Sel juhul on hulk Y funktsiooni muutumispiirkond (joonis 2.23).
Joon. 2.23 | ||||||
Funktsiooni määramispiirkond X on sõltumatu muutuja ehk argumendi x väärtuste hulk.
Funktsiooni muutumispiirkond Y on sõltuva muutuja y väärtuste ehk funktsiooni väärtuste hulk.
Järgnevates peatükkides vaadeldakse selliseid funktsioone, kus X ja Y on arvuhulgad.
Funktsiooni esitavat vastavust märgitakse üles järgmiselt: y = f (x), kus x ∈ X ja y ∈ Y ning f on eeskiri, mille kohaselt argumendi igale väärtusele seatakse vastavusse funktsiooni väärtus. Vastavust võib tähistada ka teiste tähtedega, näiteks y = g(x).
Suurus f (x) tähistab funktsiooni f väärtust, mis vastab argumendi väärtusele x.
Kirjutis f (a) tähistab funktsiooni y = f (x) väärtust, kui argument x = a.
Kui funktsiooni määramispiirkonda pole eraldi antud, siis moodustavad määramispiirkonna kõik need arvud, mille korral funktsiooni väärtus f (x) on leitav.
Näide 1.
On antud hulgad X = {1; 2; 3; 4; 5} ja Y = {6; 7; 8; 9; 10}. Sel juhul on hulgal X määratud näiteks funktsioon f (x) = x + 5. Selle funktsiooni määramispiirkond X ja muutumispiirkond Y koosnevad mõlemad 5 elemendist.
Näide 2.
Funktsiooni f (x) = 2x – 1 määramispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk R, sest f (x) väärtust on võimalik leida x mis tahes reaalarvulise väärtuse korral. Näiteks f (0) = 2 · 0 – 1 = –1; f (1) = 2 · 1 – 1 = 1 jne. Vaadeldava funktsiooni muutumispiirkonnaks on samuti kogu reaalarvude hulk R. Veenduge selles funktsiooni graafiku abil.
Näide 3.
Funktsiooni
Näide 4.
Funktsiooni
Näide 5.
Teema 2 alguses käsitletud jadasid võib samuti vaadelda kui funktsioone, sest igale naturaalarvule n ≥ 1 seatakse jadas mingi eeskirja järgi vastavusse an. Seega
jada on funktsioon, mille määramispiirkonnaks on positiivsete naturaalarvude hulk.
Ülesanded A
Ülesanne 437. Funktsioon
- sõidupileti hind ja sõidetava tee pikkus;
- ruudu külg ja ruudu pindala;
- vaskjuhtme pikkus ja juhtme temperatuur;
- veerõhk allveelaevale ja allveelaeva sügavus;
- auto kiirus ja paagis oleva bensiini kogus;
- ühtlase liikumise algusest möödunud aeg ja läbitud tee pikkus.
Ülesanne 438. Funktsiooni väärtus
f (0) =
f (–1) =
f (0,5) =
f (–3) =
Ülesanne 439. Temperatuuri mõõtmine
- Millise kahe muutujaga on tegemist?
- Kumb on sõltumatu ja kumb sõltuv muutuja?
Vastus. Sõltumatu muutuja on ja sõltuv muutuja on . - Kas on tegemist funktsiooniga? Miks? Jaatava vastuse korral leidke hulgad X ja Y.
