Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”
Пример 1.
Сколько трехбуквенных «слов» можно составить из букв С, В и Е, если буквы не должны повторяться? Запишем все такие слова.
Этих слов по правилу умножения будет 3 · 2 · 1 = 6. Найдите, сколько содержательных слов при этом получается.
С точки зрения комбинаторики в данном случае мы имеем дело с шестью перестановками из трех элементов. Дадим общее определение.
Перестановкой[понятие: Перестановка (permutatsioon) – любая упорядоченная комбинация всех элементов 𝑛-элементного множества.] из n различных элементов называется любая упорядоченная комбинация всех элементов n-элементного множества.
Число всевозможных перестановок из n элементов обозначается символом Pn. По правилу умножения получим: Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом[cноска: От латинского слова factor - делающий, производящий.] числа n и обозначается символом n!
n! = 1 · 2 · 3 · … · (n – 2) · (n – 1) · n.
Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
Таким образом,
Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1 или Pn = n!
Так как число перестановок из 1 элемента равно 1, то, желая сохранить соответствие с формулой Pn = n!, естественно определить факториал числа 1 так:
1! = 1.
Теперь получим, что P1 = 1! = 1.
Большинство калькуляторов имеет специальную клавишу !, x! или n!, позволяющую найти факториал[понятие: Факториал (faktoriaal) – факториалом натурального числа 𝑛 называется произведение всех натуральных чисел от 1 до 𝑛. Обозначение: 𝑛!. Считают, что 1! = 1 и 0! = 1.] числа.
Пример 2.
Найдем с помощью калькулятора
Калькулятор, как правило, не позволяет запоминать очень большие числа. Уже при вычислении произведения 50! · 40! калькулятор выдает сообщение об ошибке. Этого можно избежать, если выполнять действия в таком порядке, при котором можно сохранять промежуточные результаты. В данном случае подходит, например, такая схема вычислений:
50 !: 60 !· 40 !: 28 !· 5 !: 8 !=
и в результате мы получим ≈ 0,029112.
Пример 3.
Найдем, вероятность того, что при произвольном образовании из букв А, А, Б, Р получится содержательное слово.
Метод решения примера 1 здесь не подходит, так как при перестановке одинаковых букв «слово» не изменяется. Но можно выписать все эти «слова» и затем подсчитать их количество. Чтобы избежать ошибок, рекомендуется сделать это с помощью диаграммы «дерево», как показано на рисунке 1.1.
Таким образом получим, что n = 12 и k = 4.
Следовательно, искомая вероятность p = 4 : 12 ≈ 0,33.
 Рис. 1.1 | ||||||
Упражнения
Ответ: при этом получается содержательных слова.
Ответ: ноты одной октавы можно сыграть различными способами.
Ответ: получается осмысленных слова.
Ответ: 10 человек могут войти в автобус различными способами. Чтобы „проиграть” все эти варианты, потребуется дней.
Ответ: так можно разложить приглашения различными способами.
Ответ: четырех гостей можно разместить на шести стульях различными способами.
- все цифры должны быть различными?
Ответ: в этом случае можно составить различных кодов. - цифры могут повторяться?
Ответ: в этом случае можно составить различных кодов.
