Статистическая вероятность

Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”

При классическом определении вероятности предполагается, что все исходы испытания равновозможны. Однако это не всегда удается установить, кроме того, есть и такие испытания, в которых различные исходы не являются равновозможными.

Хорошим примером является изучение рождаемости. Хотя различных возможностей всего две – родится мальчик или родится девочка, эти исходы не равновозможны. Как уже отмечалось в одной из задач, вероятность Р(родится мальчик) = 0,514, следовательно, Р(родится девочка) = 0,486.

Как же найти вероятность события в таких случаях?

Рассмотрим некоторое событие А, которое при каждом испытании либо происходит, либо не происходит. Предположим также, что одинаковые испытания можно повторять неограниченное число раз. При этом различные возможные исходы испытания уже не обязаны быть равновозможными (хотя могут и быть таковыми). Если в одной серии из n испытаний событие А наступило m раз, то число m называется частотой[понятие: Частота (sagedus) – частота (или абсолютная частота) появления события – число появлений события в некоторой серии испытаний.] (или абсолютной частотой) появления события А, а отношение \frac{m}{n}– относительной частотой[понятие: Относительная частота (suhteline sagedus) – число, показывающее, какую часть всей серии испытаний занимают испытания, в которых произошло данное событие. Относительную частоту выражают обыкновенной дробью, десятичной дробью или же в процентах.] появления этого события. Относительную частоту нередко выражают и в процентах.

Выражения при достаточно больших сериях испытаний или при достаточно большом n могут поначалу показаться весьма неопределенными и даже несущественными. Следующие примеры должны убедить нас в том, что иногда число испытаний n должно быть действительно очень большим, если мы хотим получить достаточно точное значение вероятности. Кроме того, при изучении различных явлений приходится делать разное число испытаний, чтобы получить требуемую точность результата.

Из рассмотренного примера видно, что статистическая вероятность события является приближенной оценкой классической вероятности этого события (например, при бросании монеты вероятность выпадения орла равна 0,5). Можно также сделать предположение, что чем длиннее серия испытаний, тем меньше относительная частота наступления события отличается от его классической вероятности (при 12 000 испытаний отличие было равно 0,0016, при 24 000 испытаний – 0,0005). С полной уверенностью это утверждать нельзя – бывают и случаи, когда частота сильно отличается от классической вероятности. Оказывается, что для длинных серий испытаний вероятность такой аномалии становится очень малой. Более точно:

Сказанное выражает смысл известного в теории вероятностей закона больших чисел[понятие: Закон больших чисел (suurte arvude seadus) – чем длиннее серия испытаний, тем ближе к 1 вероятность того, что относительная частота появления события все меньше отличается от классической вероятности этого события.].

Статистическая вероятность события обладает теми же свойствами, что и классическая вероятность:

1. 0\le\frac{m}{n}\le1, так как 0\le m\le n,
2. P\left(U\right)=\frac{n}{n}=1,
3. P\left(V\right)=\frac{0}{n}=0,
4. P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1, так как \frac{m}{n}+\frac{n-m}{n}=1.

Таким образом, в дальнейшем не нужно учитывать, каким способом вычислена вероятность. Корректно найденной вероятностью можно во всех случаях пользоваться без опаски.