Характеристики рассеяния

Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”

Две статистические совокупности имеют следующие частотные таблицы:

Для обеих совокупностей N = 28, \overline{x}=10, Me = 10. Но в случае первой совокупности значения признака более плотно расположены около арифметического среднего, а в случае второй совокупности – более редко. Можно сказать, что в первом случае значения признака имеют меньшее рассеяние, а во втором случае – бóльшее. Однако рассмотренные до сих пор характеристики этого не показывают.

В некоторых случаях рассеяние значений признака в какой-то мере характеризуется протяженностью вариационного ряда[понятие: Протяженность, или размах вариационного ряда (variatsioonrea ulatus) – расстояние между наименьшим и наибольшим значениями признака.], например, его «длиной» (или размахом[понятие: Размах вариационного ряда – см. протяженность вариационного ряда.]) – расстоянием между наименьшим и наибольшим значениями. Однако в случае рассматриваемого примера эта протяженность для обоих случаев одинакова, так как для обеих совокупностей 7 ≤ x ≤ 13.

Найдем характеристику, которая позволяет оценить рассеяние значений признака относительно арифметического среднего.

Отличие какого-либо отдельного значения x_i от среднего значения \overline{x} хорошо показывает разность x_i-\overline{x}, которая называется отклонением[понятие: Отклонение (hälve) – разность между данным значением признака и некоторым фиксированным числом. Обычно рассматривают разность между значением признака и арифметическим средним.] (от арифметического среднего). При этом величина \left|x_i-\overline{x}\right| показывает, на сколько велико это отклонение, а знак разности x_i-\overline{x} («+» или «-») показывает, что x_i>\overline{x} или x_i>\overline{x}.

Так как на основании полученной таблицы трудно сделать заключение относительно рассеяния значений признака, то нужно получить сводную, обобщающую характеристику. Можно предположить, что в качестве такой характеристики подходит среднее отклонение, т. е. арифметическое среднее всех отклонений. Однако, такое среднее отклонение всегда равно нулю, поскольку

Действительно,

\left(x_1-\overline{x}\right)f_1+\left(x_2-\overline{x}\right)f_2+...+\left(x_n-\overline{x}\right)f_n = x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_x-\overline{x}\left(f_1+f_2+...+f_n\right) = x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n-\frac{x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n}{N}\cdot N = 0.

Чтобы избежать взаимного сокращения отклонений, в качестве величины, характеризующей рассеяние, берут арифметическое среднее квадратов этих отклонений (они являются неотрицательными числами), которое называется дисперсией[понятие: Дисперсия (dispersioon) – мера рассеяния значений признака 𝑋, равная арифметическому среднему квадратов всех отклонений значений признака. Обозначение: σ² (сигма квадрат).] и обозначается символом σ² (или s²). При компьютерной обработке данных используется функция VARP.

Таким образом,

Чем больше величина σ², тем больше рассеяние значений признака.

Полученная характеристика обладает, однако, тем недостатком, что единицей ее измерения является квадрат единицы измерения значений х рассматриваемого признака. Например, если мы вычисляем отклонение роста учеников класса (в сантиметрах) от среднего роста (также см), то единицей измерения рассеяния будет см². Чтобы освободиться от этого недостатка, пользуются так называемым стандартным отклонением[понятие: Стандартное отклонение (standardhälve) – характеристика рассеяния значений признака, равная корню квадратному из дисперсии. Обозначение: σ (сигма).] (или средним квадратическим отклонением) σ (иногда обозначается символом s), которое определяется по формуле

При компьютерной обработке данных используется функция STDEVP.

В большинстве случаев более половины значений признака отличаются от арифметического среднего меньше, чем на величину стандартного отклонения σ. Другими словами, большинство этих значений расположено в отрезке $$ \left[\overline{x}-\text{σ}; \overline{x}+\text{σ}\right]$$. Поэтому арифметическое среднее часто указывают в виде $$ \overline{x}\pm \text{σ}$$.

Оказывается, что рассеяние значений признака относительно арифметического среднего всегда меньше рассеяния относительно любого другого числа. Другими словами,

Из предыдущих формул можно вывести следующую формулу для вычисления дисперсии σ²:

где \overline{x}^2 – квадрат арифметического среднего, а \overline{x^2} – арифметическое среднее квадратов значений признака, т. е.

\overline{x^2}=\frac{1}{N}\left(x_1^2f_1+x_2^2f_2+...+x_n^2f_n\right).

Сравнение двух совокупностей с точки зрения рассеяния сводится к сравнению их стандартных отклонений. Так мы поступим, например, при решении задания 125. В данном случае это оправдано, так как соответствующие данные находятся в пределах одной шкалы. Но данные могут находиться в различных шкалах. Например, если мы хотим сравнить рассеяние роста мальчиков начальной школы и рассеяние роста взрослых мужчин, то средние арифметические будут различными – слишком различны здесь числовые данные роста. В этом случае более подходящим будет найти так называемые относительное рассеяние в сравнении с арифметическим средним. Эта величина определяется равенством

и называется коэффициентом вариации[понятие: Коэффициент вариации (variatsioonkordaja) – частное от деления стандартного отклонения на арифметическое среднее значений признака; может выражаться и в процентах. В виде формулы: 𝑣 = σ : ̅𝑥.]. Как и все величины, выражающиеся в виде отношений, его можно выражать в процентах. Коэффициент вариации имеет смысл, если все значения признака положительны. Аналогичная ситуация наблюдается при сравнении рассеяния признаков, у которых значения выражены в разных единицах измерения (например, в сантиметрах и килограммах). Например, применение коэффициента вариации необходимо, если мы хотим выяснить, какой признак, рост или вес, имеет бóльшее рассеяние относительно среднего значения у юношей одного и того же 11 класса.