Закон показательного роста и убывания

Курс "Функции"

Некоторые величины с течением времени изменяются так, что за определенный промежуток времени (например, за час, за неделю или за год) их значение увеличивается на p процентов по сравнению с первоначальным значением а. Найдем значение такой величины по истечении n таких промежутков времени:

в конце первого промежутка времени будет a+\frac{p}{100}\cdot a = a\left(1+\frac{p}{100}\right);

в конце второго промежутка времени будет a\left(1+\frac{p}{100}\right)+\frac{p}{100}\cdot a\left(1+\frac{p}{100}\right) = a\left(1+\frac{p}{100}\right)^2;

в конце третьего промежутка времени будет a\left(1+\frac{p}{100}\right)^2+\frac{p}{100}\cdot a\left(1+\frac{p}{100}\right)^2 = a\left(1+\frac{p}{100}\right)^3.

По аналогии получим, что в конце n-го промежутка времени значением величины будет

Эта формула является формулой сложных процентов для случая возрастающей величины[понятие: Формула сложных процентов для случая возрастающей величины (liitprotsendilise kasvamise valem) – описывает закономерность, в случае которой исходная величина 𝑎 увеличивается за каждый промежуток времени на 𝑝 процентов по сравнению со значением в начале промежутка времени. Если прошло 𝑛 таких промежутков времени, то новым значением будет 𝑎(1 + 𝑝/100)ⁿ.]. По такому закону возрастает, к примеру, размер вклада в банке, количество биомассы молодого леса, число бактерий в пробирке с питательной средой, население нашей планеты и т. д.

При возрастании по закону сложных процентов банк в конце каждого года добавляет к сумме, имевшейся в начале года, так называемый интресс, который участвует в «зарабатывании» нового интресса в следующем году. С начала следующего года увеличившаяся сумма в свою очередь начинает порождать новый интресс. Так происходит в каждом следующем году (или промежутке времени).

Вспомним, что в случае возрастания по формуле простых процентов кажый год к первоначальной сумме а добавляются р% первоначальной суммы. Добавленный интресс не учитывается при подсчете интресса в следующем промежутке времени – он по-прежнему составляет р% от а. В случае такого возрастания A_n=a+n\cdot a\cdot\frac{p}{100}. Здесь увеличение суммы при n ≥ 2 меньше, чем в случае сложных процентов.

Если за одинаковые промежутки времени значения некоторой величины уменьшаются на одно и то же число p процентов, то по истечении n таких периодов времени из первоначального значения а этой величины образуется новое значение:

Эта формула является формулой сложных процентов для случая убывающей величины[понятие: Формула сложных процентов для случая убывающей величины (liitprotsendilise kahanemise valem) – описывает закономерность, в случае которой исходная величина 𝑎 уменьшается за каждый промежуток времени на 𝑝 процентов по сравнению со значением в начале промежутка времени. Если прошло 𝑛 таких промежутков времени, то новым значением будет 𝑎(1 – 𝑝/100)ⁿ.]. По такому закону с течением времени уменьшается, например, масса радиоактивного вещества, стоимость автомобиля, оборудования завода и т. п.