Kõver­trapetsi pindala

Uute matemaatiliste mõisteteni on tavaliselt jõutud mingite konkreetsete praktiliste ülesannete lahendamise kaudu. Nii näiteks jõuti funktsiooni tuletise mõisteni keha liikumise hetk­kiiruse ja joone puutuja leidmise ülesannete lahendamisel. Integreerimise juurde viisid kujundi pindala leidmise ülesanded ning ülesanded, kus oli tarvis leida keha poolt teatud hetkeks läbitud tee pikkust, kui oli teada keha liikumise kiirus igal aja­hetkel.

Arvutage selle meetodiga Peipsi järve pindala ja leidke, kui palju erineb tulemus järve tegelikust pindalast.

Vaatleme, kuidas leidis kõver­trapetsi pindala Vana-Kreeka matemaatik ja füüsik Archimedes (elas 287–212 eKr). Ta uuris, kui suure osa ühik­ruudust eraldab parabool y = x² (joon. 1.8a). Selleks jagas ta lõigu OB osadeks. Joonistel 1.8b ja 1.8c on see lõik jagatud näiteks neljaks võrdseks osaks. Joonisel 1.8b kujutatud rist­külikute pindalade summa s₄ on otsitava pindala S alam­piiriks ja joonisel 1.8c kujutatud rist­külikute pindalade summa S₄ on otsitava pindala ülem­piiriks ehk s_4<S<S_4.

Antud juhul

s_4 = \frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{2}{4}\right)^2+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{14}{64} = \frac{7}{32} ja

S_4 = \frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{2}{4}\right)^2+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{4}{4}\right)^2 = \frac{30}{64} = \frac{15}{32}.

Seega \frac{7}{32}<S<\frac{15}{32} ehk 0,21875 < S < 0,46875.

Jagades lõigu OB näiteks kaheksaks osaks (joon. 1.8d ja 1.8e), saame s_8=\frac{35}{128}<S<\frac{51}{128}=S_8 ehk 0,27344 < S < 0,39844. Mida suuremaks arvuks osadeks me lõigu OB jaotame, seda enam lähenevad s_n ja S_n otsitavale pindalale S ehk täna­päevases sümboolikas (n on osade arv):

$$ \underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$$.

Seega on otsitav kõver­trapetsi pindala S jadade (s_n) ja (S_n) ühine piir­väärtus.