Sirge ja tasandi vaheline nurk. Kolme rist­sirge teoreem

Ülesanne 361. Tasand ja sirged
  1. Mida võib öelda punktis A lõikuvate tasandi α erinevate sirgete ja sirge s vaheliste nurkade kohta?
  2. Milline neist nurkadest on vähim?

Eelnevas ülesandes joonestatud nurkadest vähimat loetaksegi sirge s ja tasandi α vaheliseks nurgaks. Et sirge AB' on sirge AB rist­projektsioon tasandil α, siis defineerime sirge ja tasandi vahelise nurga järgmiselt:

sirge ja tasandi vaheliseks nurgaks nimetatakse sirge ja tema rist­projektsiooni vahelist nurka.

Kui sirge on paralleelne tasandiga, siis on paralleelsed ka sirge ja selle rist­projektsioon tasandil. Seega tasandiga paralleelse sirge ja tasandi vaheline nurk on 0°. Tasandi normaali ja tasandi vaheline nurk on 90°.

Ülesanne 362. Millistel tingimustel?
  1. Punkti rist­projektsiooniks tasandil on punkt.
  2. Lõigu rist­projektsiooniks tasandil on lõik.
  3. Lõigu rist­projektsiooniks tasandil on selle lõiguga võrdne lõik.
  4. Lõigu rist­projektsiooniks tasandil on punkt.
  5. Sirge rist­projektsiooniks tasandil on sirge.

Nurga ABC rist­projektsioon tasandil on nurk A'B'C', kus A' ja C' on nurga haaradel valitud punktide A ja C rist­projektsioonid ning B' nurga tipu B rist­projektsioon sellel tasandil (joon. 2.11).

Joon. 2.11
Ülesanne 363. Nurga rist­projektsioon
  1. Millal on antud nurga rist­projektsioon laual suurim?
  2. Millal on antud nurga rist­projektsioon laual vähim? Kui suur?
  3. Kuidas muutub rist­projektsiooniks oleva nurga suurus tasandil mitte­asuva haara ja tasandi vahelise nurga suurenedes?
  4. Vastake esimesele kolmele küsimusele juhul, kui projekteeritavaks nurgaks on nüri­nurk.
  5. Vastake esimesele kolmele küsimusele juhul, kui projekteeritavaks nurgaks on täis­nurk. Mis selgub? Mis muutub, kui täis­nurk eemaldada tasandist selliselt, et laual olnud haar jääb lauaga paralleelseks? Kas saadu kehtib ka siis, kui loobuda paralleelsuse nõudest?

TEOREEM. Tasandil asuva haaraga nurga rist­projektsioon tasandil on täis­nurk siis ja ainult siis, kui see nurk on täis­nurk (kolme rist­sirge teoreem).

Paneme tähele, et selles teoreemis on sõna­ühendiga siis ja ainult siis kokku võetud kaks väidet (teine­teise pöörd­teoreemid):

  1. kui nurga haar asub tasandil ja nurk on täis­nurk, siis selle nurga rist­projektsioon tasandil on täis­nurk;
  2. kui nurga haar asub tasandil ja nurga rist­projektsioon tasandil on täis­nurk, siis see nurk on täis­nurk.
Tõestus

Eeldame esmalt, et nurk ∠ACD = 90° (joon. 2.12). Asugu tema haar CD tasandil α ja olgu A' selle nurga teise haara mingi punkti A projektsioon tasandil α. Näitame, et sellisel juhul on nurga ∠ACD projektsioon ∠A'CD täis­nurk.

Lõikuvad sirged AA' ja AC määravad tasandi β. Näitame, et CD ⟘ β. Et AA' on tasandi α normaal, siis on ta risti iga selle tasandi sirgega. Järelikult CD ⟘ AA'.

Joon. 2.12

Kuna sirge CD on risti ka sirgega CA, siis on see sirge risti tasandi β kahe lõikuva sirgega. Järelikult CD ⟘ β. Et CA' ⊂ β, siis ka CA' ⟘ CD. Järelikult ∠A'CD = 90°.

Lähtume nüüd eeldusest, et ∠A'CD = 90° ja näitame, et ∠ACD = 90°. Sirged AA' ja AC määravad tasandi β. Et CD ⟘ AA' (miks?), siis CD ⟘ β. Kuna AC ⊂ β, siis ka AC ⟘ CD. ♦

Sõnastatud teoreemi kasutatakse väga paljude ruumi­geomeetria ülesannete lahendamisel. Vaatleme neist ühte.

Näide.

Rist­küliku­kujulise põhjaga püramiidi külg­serv ED on risti püramiidi põhjaga (joon. 2.13). Leidke selle püramiidi külg­servad, kui rist­küliku mõõtmed on 5 cm ja 8 cm ning püramiidi kõrgus on 12 cm.

Ülesande andmetest teame, et püramiidi põhja kõik nurgad on täis­nurgad. Samuti saame andmetest, et tipu D juures olevad külg­tahkude nurgad on täis­nurgad. Kuna külg­tahu ABE nurga A rist­projektsioon põhi­tahul on täis­nurk, siis äsja­sõnastatud teoreemi põhjal on täis­nurk ka see nurk ise. Seega ∠BAE = 90°. Samuti ∠BCE = 90° (miks?).

Olgu AD = 5 cm, DC = 8 cm ja DE = 12 cm.

Joon. 2.13

Pythagorase teoreemist saame siis, et

AE=\sqrt{25+144}=13\ \left(\mathrm{cm}\right), CE=\sqrt{64+144}=4\sqrt{13}\ \left(\mathrm{cm}\right) ja EB=\sqrt{169+64}=\sqrt{233}\ \left(\mathrm{cm}\right).

Mis muutuks ülesande lahenduses, kui vahetaksime põhi­servade väärtused?

Vastus. Püramiidi külg­servad on AE=13\ \mathrm{cm}, CE=4\sqrt{13}\ \mathrm{cm} ja EB=\sqrt{233}\ \mathrm{cm}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 364. Tasand ja sirge

Vastus. See punkt asub punktist A  m kaugusel.

Ülesanne 365. Tasand ja sirge

Vastus. See punkt asub tasandist  m kaugusel.

Ülesanne 366. Tasand ja lõik

Vastus. Lõigu A'B pikkus on  cm.

Ülesanne 367. Tasa­pind ja kaks ristuvat sirget

Vastus. Sirgete ja tasa­pinna lõike­punktide vaheline kaugus on  cm.

Ülesanne 368. Rist­tahuka diagonaali ja tahkude vahelised nurgad

Vastus. Selle rist­tahuka ühest tipust lähtuva diagonaali ja tahkude vahel on nurgad (kasvavalt) ,  ja . Nende nurkade siinuste ruutude summa on .

Ülesanne 369. Korra­pärane kuus­nurkne prisma
  1. Milliste prisma servadega on prisma lühim diagonaal risti, miks?
  2. Leidke selle prisma diagonaalide ja põhi­tahu vahelised nurgad.

    Vastus. Need nurgad on  ja .
Ülesanne 370. Tasand ja lõigud

Vastus. Lõikude ja tasandi ühiste punktide vaheline kaugus on  m.

Ülesanne 371. Korra­pärane neli­nurkne püramiid

Vastus. Selle püramiidi kõrgus on  m.

Ülesanne 372. Kolm­nurkne püramiid

Vastus. Selle püramiidi külg­servad on  cm.

Ülesanne 373. Kolm­nurkne püramiid

Ülesanne 374. Kolm­nurkne püramiid

Vastus. Selle püramiidi külg­servade ja põhja vahelised nurgad on .

Ülesanne 375. Täis­nurkne kolm­nurk

Vastus. Selle kolm­nurga projektsiooniks oleva kolm­nurga mõõtmed on  cm,  cm ja  cm ning pindala on  cm2.

Ülesanne 376. Püramiid
  1. Kujutage eraldi joonisel püramiidi põhi ja apoteemi rist­projektsioon sellel.
  2. Arvutage püramiidi põhja kõrgus.
    Vastus. Selle püramiidi põhja kõrgus on  cm.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 377. Tasand ja sirged
  1. Kuidas asetsevad teine­teise suhtes sirged s' ja t?
  2. Kuidas asetsevad teine­teise suhtes sirge s' ja tasandi α need sirged, mis on paralleelsed sirgega t?
  3. Sõnastage saadud tulemus teoreemina kasutamata terminit „täis­nurk”. Kas kehtib antud teoreemi pöörd­teoreem? Kui jah, siis sõnastage teoreem ümber, kasutades väljendit „siis ja ainult siis”.
Ülesanne 378. Tasa­pind ja lõigud

Vastus. CD =  cm

Ülesanne 379. Võrd­haarne kolm­nurk
  1. Leidke punkti K kaugus kolm­nurga külgedest.
    Vastus. Punkti K kaugus kolm­nurga külgedest on  cm.
  2. Leidke punkti K kaugus kolm­nurga tippudest.
    Vastus. Punkti K kaugus kolm­nurga tippudest on  cm ja  cm.
Ülesanne 380. Rööp­külik

Vastus. Selle rööp­küliku projektsiooni pindala on  cm2.

Ülesanne 381. Täis­nurkne kolm­nurk

Vastus. Selle rist­lõigu ots­punktide kaugused hüpotenuusist on  cm ja  cm.

Ülesanne 382. Korra­pärane kuus­nurkne prisma

Vastus. Need nurgad on °, °, ° ja °.

Ülesanne 383. Rist­tahukas

Vastus. See diagonaal moodustab ühest tipust lähtuvate servadega nurgad °, ° ja °.

Ülesanne 384. Kolm­nurk

Vastus. Selle rist­lõigu ots­punktide kaugused kolm­nurga suurimast küljest on  cm ja  cm.

Ülesanne 385. Püramiid

Vastus. Selle püramiidi kõrgus on  cm.

Seotud sisu
Muud tegevused