Vektori koordinaadid ruumis

Mõistagi peavad võrdsetel vektoritel olema võrdsed koordinaadid. Kuna võrdsetel vektoritel võivad olla erinevad algus­punkti (lõpp-punkti) koordinaadid, siis ei saa me neid vektori koordinaatidena kasutada.

Toimime vektori koordinaatide leidmisel ruumis samuti nagu tasandil. Analoogiliselt tasandilise juhuga on ka ruumis võimalik iga vektorit avaldada koordinaat­telgede suunaliste ühik­vektorite kaudu.

TEOREEM. Iga vektor ruumis on avaldatav koordinaat­telgede ühik­vektorite i→, j→ ja k→ kaudu kujul v→=Xi→+Yj→+Zk→, kus X, Y ja Z ∈ R.

Tõestus

Olgu koordinaat­telgede ühik­vektorid \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} (joon. 2.40).

Vaatleme joonisel 2.40 vektorit \vec{v}. Rakendame vektori \vec{v} koordinaatide algus­punkti, siis \overrightarrow{OP}=\vec{v}. Meenutame, et vektorit \overrightarrow{OP} nimetatakse punkti P koha­vektoriks.

Jooniselt näeme, et vektor \overrightarrow{OP} avaldub summana \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}. Iga liidetav selles summas on sama­sihiline mingi koordinaat­teljega ja seega avaldatav vastava telje ühik­vektori kaudu. Järelikult

\overrightarrow{OP}=X\vec{i}+Y\vec{j}+Z\vec{k}, kus X, Y ja Z ∈ R. ♦

Joon. 2.40

Vektorid X\vec{i}, Y\vec{j} ja Z\vec{k} saadud avaldises nimetatakse vektori \vec{v}=\overrightarrow{OP} komponentideks vastavalt x-, y- ja z-teljel ning arve X, Y ja Z vektori \vec{v} koordinaatideks. Seda, et vektori \vec{v} koordinaadid on X, Y ja Z, märgitakse lühidalt järgmiselt: \vec{v}=\left(X;\ Y;\ Z\right).

Paneme tähele, et vektori komponendid jäävad samaks sõltumata sellest, millisesse punkti vektor on rakendatud. Samas on võimalik ka näidata, et igal vektoril on vaid üks selline esitus. Need asja­olud lubavadki meil arve X, Y ja Z kasutada vektori \vec{v} koordinaatidena.

Kui vektor \vec{v} on risti mingi koordinaat­teljega, siis on vektori vastava telje sihiline komponent võrdne null­vektoriga (joon. 2.41). Järelikult on siis null ka vastav koordinaat. Antud juhul \vec{v}=X\vec{i}+Y\vec{j}+0\vec{k}=\left(X;\ Y;\ 0\right).

Joon. 2.41
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 490. Vektorite liitmine ja lahutamine
Joon. 2.42

Leidke vektorid.

\overrightarrow{LP}+\overrightarrow{MN} = 

\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{MK} = 

\overrightarrow{QM}-\overrightarrow{RL} = 

Joon. 2.42

Leidke vektorid.

\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{NO} = 

\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{ML} = 

\overrightarrow{KQ}-\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{MO} = 

Ülesanne 491. Vektori koordinaadid ruumis
Joon. 2.43
  1. Leidke punktide L, M, N, P, R ja S koordinaadid.

L(),
M(),
N(),
P(),
R(),
S().

  1. Avaldage vektorite \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} kaudu vektorid
    1. \overrightarrow{OL}; \overrightarrow{ON}; \overrightarrow{OS}; \overrightarrow{QR}ja \overrightarrow{QM}.
      Vastus. \overrightarrow{OL} = ; \overrightarrow{ON} = ; \overrightarrow{OS} = ; \overrightarrow{QR} = ; \overrightarrow{QM} = .
    2. \overrightarrow{OM}; \overrightarrow{OR}; \overrightarrow{OP}; \overrightarrow{SQ}; \overrightarrow{QL} ja \overrightarrow{QN}.
      Vastus. \overrightarrow{OM} = ; \overrightarrow{OR} = ; \overrightarrow{OP} = ; \overrightarrow{SQ} = ; \overrightarrow{QL} = ; \overrightarrow{QN} = .
    3. \overrightarrow{OQ}; \overrightarrow{LR} ja \overrightarrow{PN}.
      Vastus. \overrightarrow{OQ} = ; \overrightarrow{LR} = ; \overrightarrow{PN} = .
  1. Leidke ala­punktis 2 esitatud vektorite koordinaadid.
Ülesanne 492. Punkti koha­vektori koordinaadid

Vastus. \overrightarrow{OA} = , \overrightarrow{OB} = , \overrightarrow{OP} = .

Ülesanne 493. Vektori avaldamine ühik­vektorite kaudu

Avaldage antud vektor ühik­vektorite \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} kaudu.

\vec{a}=\left(3;\ 4;\ 5\right)

\vec{a} = 

\vec{b}=\left(-2;\ -9;\ 2\right)

\vec{b} = 

\vec{c}=\left(0;\ -1;\ 5\right)

\vec{c} = 

\vec{d}=\left(0;\ -3;\ 0\right)

\vec{d} = 

\vec{e}=\left(1;\ 0;\ 0\right)

\vec{e} = 

Ülesanne 494. Ühik­vektorite koordinaadid

Leidke ühik­vektorite \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} koordinaadid.

\vec{i} = 

\vec{j} = 

\vec{k} = 

Ülesanne 495. Vektori koordinaadid ruumis

Ülesanne 496. Vektori asend koordinaat­teljestikus

\vec{a}=\left(0;\ 0;\ 2\right)

\vec{b}=\left(0;\ -3;\ 0\right)

\vec{c}=\left(6;\ 0;\ 0\right)

\vec{d}=\left(0;\ 1;\ 2\right)

\vec{e}=\left(-2;\ 0;\ 4\right)

\vec{f}=\left(7;\ -3;\ 0\right)

Ülesanne 497. Vektori koordinaadid ruumis
  • a→=0;0;-3
  • b→=2;-3;0
  • c→=6;0;-5
  • d→=0;1;2
  • e→=-2;0;0
  • f→=0;-3;0
  • a→=0;0;-3
  • b→=2;-3;0
  • c→=6;0;-5
  • d→=0;1;2
  • e→=-2;0;0
  • f→=0;-3;0
  • a→=0;0;-3
  • b→=2;-3;0
  • c→=6;0;-5
  • d→=0;1;2
  • e→=-2;0;0
  • f→=0;-3;0
  • a→=0;0;-3
  • b→=2;-3;0
  • c→=6;0;-5
  • d→=0;1;2
  • e→=-2;0;0
  • f→=0;-3;0
Ülesanne 498. Vektorite summa

Avaldage vektor \vec{u}+\vec{v} ristuvate ühik­vektorite kaudu ja leidke selle koordinaadid.

\vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}; \vec{v}=-\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k}

\vec{u}+\vec{v} =  = 

Avaldage vektor \vec{u}+\vec{v} ristuvate ühik­vektorite kaudu ja leidke selle koordinaadid.

\vec{v}=7\vec{j}-2\vec{i}+\vec{k}; \vec{u}=3\vec{j}-2\vec{k}

\vec{u}+\vec{v} =  = 

Ülesanne 499. Vektori skalaar­ruut ja pikkus

Peatükk 2.10, näide 2

\vec{v}=\left(4;\ 0;\ -3\right)

Vastus. \vec{v} = , \vec{v}^2 = , \left|\vec{v}\right| = 

Peatükk 2.10, näide 2

\vec{v}=\left(-3;\ 5;\ 0\right)

Vastus. \vec{v} = , \vec{v}^2 = , \left|\vec{v}\right| = 

Peatükk 2.10, näide 2

\vec{v}=\left(0;\ 6;\ -\sqrt{13}\right)

Vastus. \vec{v} = , \vec{v}^2 = , \left|\vec{v}\right| = 

Ülesanne 500. Vektorite skalaar­korrutis

Leidke vektorite \vec{u} ja \vec{v} skalaar­korrutis..

\vec{u}=\left(-3;\ 0;\ 5\right); \vec{v}=\left(2;\ -2;\ 5\right)

Vastus. \vec{u}\cdot\vec{v} = 

Leidke vektorite \vec{u} ja \vec{v} skalaar­korrutis..

\vec{u}=\left(-2;\ 1;\ 3\right); \vec{v}=\left(0;\ -2;\ 7\right)

Vastus. \vec{u}\cdot\vec{v} = 

Seotud sisu
Muud tegevused