Vektorite komplanaarsus

Eelmises peatükis selgus, kuidas punktide koordinaatide abil selgitada, kas punktid asuvad ühel ja samal sirgel või mitte. Kuidas aga kindlaks teha seda, kas punktid asuvad samal tasandil või mitte?

Punkte, mis asuvad ühel ja samal tasandil, nimetatakse komplanaarseteks punktideks.

Ülesanne 557. Kärbsed

Laualt tõusid ühe­aegselt lendu kolm kärbest: esimene kiirusega 1,5\ \mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}}, teine kiirusega 1,8\ \mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}} ja kolmas kiirusega 2,1\ \mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}}. Mitme sekundi pärast jõudsid kärbsed uuesti ühele ja samale tasandile?

Ülesanne 558. Kollineaarsed ja komplanaarsed punktid
  • sirge?
    Vastus. Piisab  punktist.
  • tasand?
    Vastus. Piisab  punktist.

Ülimalt mitu punkti on kindlasti

  • kollineaarsed?
    Vastus. Ülimalt  punkti.
  • komplanaarsed?
    Vastus. Ülimalt  punkti.

Punktide komplanaarsuse, nii nagu kollineaarsusegi selgitamisel kasutame vektoreid.

Vektoreid, mis pärast ühisesse algus­punkti rakendamist asuvad ühel ja samal tasandil, nimetatakse komplanaarseteks ehk sama­rihilisteks.

Ülesanne 559. Väidete tõesus
  • Iga kaks vektorit on komplanaarsed.
  • Iga kaks vektorit on kollineaarsed.
  • Iga kaks punkti on komplanaarsed.
  • Iga kaks punkti on kollineaarsed.
  • Iga kaks kollineaarset vektorit on komplanaarsed.
Ülesanne 560. Väidete tõesus
  • Iga kolm vektorit on komplanaarsed.
  • Iga kolm vektorit on kollineaarsed.
  • Iga kolm punkti on komplanaarsed.
  • Iga kolm punkti on kollineaarsed.
  • Iga kolm kollineaarset vektorit on komplanaarsed.

Leiame nüüd tunnused, mis võimaldavad kindlaks teha, kas antud kolm vektorit on komplanaarsed või mitte.

Joon. 2.51

Jooniselt 2.51 näeme, et

kui kolm vektorit a→, b→ ja c→ on komplanaarsed ning a→ ja b→ pole kollineaarsed, siis leiduvad niisugused reaal­arvud p ja q, et c→=pa→+qb→.

Kehtib ka vastu­pidine väide:

kui vektorid a→ ja b→ pole kollineaarsed ning leiduvad niisugused reaal­arvud p ja q, et c→=pa→+qb→, siis on vektorid a→, b→ ja c→ komplanaarsed.

Kui oletada vastu­väiteliselt, et viimati öeldu ei kehti, siis peaks pärast vektorite ühte punkti rakendamist tekkiv neli­nurk ABCD (joon. 2.51) olema ruumiline. Et vektor \vec{c}=p\vec{a}+q\vec{b}, siis vastavalt vektorite liitmise rööp­küliku reeglile asub ta rööp­küliku diagonaalil. Kuna aga rööp­külik on tasa­pinnaline kujund, siis oleme jõudnud vastu­oluni. Järelikult peavad vektorid \vec{a}, \vec{b} ja \vec{c} olema komplanaarsed.

Kokku võttes võime sõnastada järgmise teoreemi:

TEOREEM. Vektor c→ on komplanaarne kahe mitte­kollineaarse vektoriga a→ ja b→ siis ja ainult siis, kui leiduvad niisugused reaal­arvud p ja q, et c→=pa→+qb→.

Küsime nüüd, mis juhtub siis, kui sõnastatud teoreemis jätta ära vektorite mitte­kollineaarsuse nõue. Olgu näiteks vektorid \vec{a} ja \vec{b} kollineaarsed. Sellisel juhul on pärast kõigi kolme vektori ühisesse algus­punkti rakendamist kaks võimalust:

  1. vektor \vec{c}\ \parallel\ \vec{a}\ \parallel\ \vec{b}. Sellisel juhul kuuluvad kõik kolm vektorit samale sirgele ja järelikult on nad ka komplanaarsed;
  2. vektor \vec{c} ei ole kollineaarne vektoritega \vec{a} ja \vec{b}. Sellisel juhul on vektorid \vec{a} ja \vec{b} viidavad ühele sirgele ning vektor \vec{c} teisele, esimest lõikavale sirgele. Need kaks sirget aga määravadki tasandi, millele kuuluvad kõik kolm antud vektorit. Seega on need vektorid komplanaarsed.

Saadu võimaldab üldistada ees­pool esitatud teoreemi:

TEOREEM. Kolm vektorit a→, b→ ja c→ on komplanaarsed siis ja ainult siis, kui nende seas

1) pole kaht kollineaarset vektorit ja üks neist avaldub kahe teise kaudu kujul c→=pa→+qb→ või

2) mingid kaks vektorit neist on kollineaarsed.

Näide 1.

Kontrollime, kas vektorid \vec{a}=\left(2;\ -1;\ 0\right), \vec{b}=\left(-1;\ 3;\ 2\right) ja \vec{c}=\left(3;\ 1;\ 2\right) on komplanaarsed.

Antud vektorite seas ei leidu kollineaarseid (miks?). Et vektorid \vec{a}, \vec{b} ja \vec{c} oleksid komplanaarsed, peavad leiduma arvud p ja q, nii et \vec{c}=p\vec{a}+q\vec{b} ehk

3=2p-q1=-p+3q2=2q.

Selles võrrandi­süsteemis on kaks tundmatut ja kolm võrrandit. Lahendame kahest esimesest võrrandist koosneva süsteemi ja kontrollime, kas leitud lahend rahuldab ka kolmandat võrrandit.

Süsteemist 3=2p-q1=-p+3q saame p=2 ja q=1. Saadud arvu­paar rahuldab ka kolmandat võrrandit. Seega \vec{c}=2\vec{a}+\vec{b} ning vektorid \vec{a}, \vec{b} ja \vec{c} on komplanaarsed.

Vastus. Antud vektorid on komplanaarsed.

Näide 2.

Kontrollime, kas punktid A(1; 2; 3), B(3; 1; 4), C(4; 4; 2) ja D(5; 0; 5) asuvad ühel ja samal tasandil.

Punktid A, B, C ja D kuuluvad ühele tasandile siis, kui vektorid \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} ja \overrightarrow{AD} on komplanaarsed (joon. 2.52). Seega tuleb meil leida vektorid \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} ja \overrightarrow{AD} ning kontrollida nende komplanaarsust.

\overrightarrow{AB}=(2;\ -1;\ 1),

​\overrightarrow{AC}=(3;\ 2;\ -1) ja

​\overrightarrow{AD}=(4;\ -2;\ 2).

Joon. 2.52

Nagu näeme, on vektorite \overrightarrow{AB} ja \overrightarrow{AD} koordinaadid võrdelised. Seega on need vektorid kollineaarsed. Et vaadeldavas vektorite kolmikus on paar kollineaarseid vektoreid, siis on need vektorid kõik komplanaarsed. Järelikult on komplanaarsed ka punktid A, B, C ja D.

Vastus. Punktid A, B, C ja D asuvad ühel ja samal tasandil.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 561. Vektorite komplanaarsus
Joon. 2.53

\overrightarrow{AB} ja \overrightarrow{AF}

\overrightarrow{AB} ja \overrightarrow{AG}

Joon. 2.53

\overrightarrow{AH} ja \overrightarrow{DK}

\overrightarrow{AC} ja \overrightarrow{DJ}

Ülesanne 562. Vektorite komplanaarsus

\vec{a}=\left(0;\ -1;\ 2\right), \vec{b}=\left(2;\ 3;\ -1\right) ja \vec{c}=\left(2;\ 1;\ 3\right)

Vastus. Need vektorid  komplanaarsed.

\vec{a}=\left(0;\ -3;\ 2\right), \vec{b}=\left(2;\ 5;\ -1\right) ja \vec{c}=\left(0;\ 6;\ -4\right)

Vastus. Need vektorid  komplanaarsed.

\vec{a}=\left(3;\ -4;\ 2\right), \vec{b}=\left(1;\ -3;\ -2\right) ja \vec{c}=\left(-1;\ 5;\ 7\right)

Vastus. Need vektorid  komplanaarsed.

Ülesanne 563. Kas punktid asuvad ühel ja samal tasandil?

A(2; 0; 1), B(3; 3; 6), C(4; –1; 2) ja D(7; 5; –3)

Vastus. Need punktid  ühele ja samale tasandile.

A(0; 1; –1), B(2; 3; 5), C(–1; 3; –1) ja D(2; 2; 2)

Vastus. Need punktid  ühele ja samale tasandile.

A(3; 0; 2), B(5; 1; 9), C(6; 2; 7) ja D(8; 3; 14)

Vastus. Need punktid  ühele ja samale tasandile.

Ülesanne 564. Kolmnurkse püramiidi tipud

Punktide A, B, C ja D koha­vektorid on vastavalt \overrightarrow{OA}=3\vec{i}+7\vec{j}+4\vec{k}, \overrightarrow{OB}=5\vec{i}+9\vec{j}+5\vec{k}, \overrightarrow{OC}=6\vec{i}+5\vec{j} ja \overrightarrow{OD}=4\vec{i}+13\vec{j}+10\vec{k}.

Kas need punktid võivad olla kolm­nurkse püramiidi tippudeks?

Vastus. Need punktid  olla kolm­nurkse püramiidi tippudeks.

Seotud sisu
Muud tegevused