Sirge võrrandid ruumis

Kümnenda klassi kursusest teame, et igale sirgele tasandil vastab võrrand ax + by = c. Küsime nüüd, millised näevad välja sirge võrrandid ruumis.

Joon. 2.54​

Läbigu sirge s punkti A(x1; y1; z1) vektori \vec{s}=\left(s_1;\ s_2;\ s_3\right) sihis (joon. 2.54). Seega võime antud sirge sihi­vektoriks valida vektori \vec{s}. Olgu sirge mis tahes punkt P(x; y; z), siis \overrightarrow{AP}=\left(x-x_1;\ y-y_1;\ z-z_1\right) ning vektorite \overrightarrow{AP} ja \vec{s} kollineaarsusest järeldub:

x - x1s1=y - y1s2=z - z1s3   (1)

Kuna saadud võrrandeid rahuldavad vaadeldava sirge kõikide punktide koordinaadid ja ainult need, siis olemegi saanud sirge s võrrandid. Sirge sellisel kujul esitatud võrrandeid nimetatakse sirge kanoonilisteks võrranditeks.

Tähistame sirge kanoonilistes võrrandites võrdsed suhted \frac{x-x_1}{s_1}, \frac{y-y_1}{s_2} ja \frac{z-z_1}{s_3} tähega t ja avaldame saadud võrdustest sirge mis tahes punkti koordinaadid x, y ja z:

\frac{x-x_1}{s_1}=t, millest x=x_1+s_1t;

\frac{y-y_1}{s_2}=t, millest y=y_1+s_2t ja

\frac{z-z_1}{s_3}=t, millest z=z_1+s_3t.

Saadud võrrandeid nimetatakse sirge parameetrilisteks võrranditeks. Need esitatakse tavaliselt võrrandite süsteemina:

{x=x1+s1ty=y1+s2tz=z1+s3t   (2)

Kui sirge on antud kahe punktiga A(x1; y1; z1) ja B(x2; y2; z2), siis võtame sirge sihi­vektoriks \vec{s} vektori \overrightarrow{AB}. Et \overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;\ y_2-y_1,\ z_2-z_1\right), siis on sirge kanoonilised võrrandid nüüd kujul

x - x1x2 - x1=y - y1y2 - y1=z - z1z2 - z1.

Kui sirge on risti mingi koordinaat­teljega, siis sirge sihi­vektori vastav koordinaat on null. Näiteks juhul, kui sirge on risti z-teljega (joon. 2.55), on sirge sihi­vektori kolmas koordinaat null. Sirge kanoonilised võrrandid on siis kujul

\frac{x-x_1}{s_1}=\frac{y-y_1}{s_2}=\frac{z-z_1}{0}.

Parameetriliste võrrandite koostamisel arvestame seda, et \overrightarrow{AP}\ \parallel\ \vec{s}. Järelikult ka z − z1 = 0. Seega esituvad antud sirge parameetrilised võrrandid kujul

x=x1+s1ty=y1+s2tz=z1.

Joon. 2.55

Näide 1.

Koostame sirge s kanoonilised ja parameetrilised võrrandid, kui sirge läbib punkti A(2; –1; 5) vektori \vec{s}=\left(3;\ 0;\ 2\right) sihis. Kirjeldame sirge asendit koordinaat­teljestikus.

Rakendades valemeid 1 ja 2 saame, et sirge s kanoonilised ja parameetrilised võrrandid on

\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{0}=\frac{z-5}{2}   ja   x=2+3ty=-1z=5+2t.

Et sirge s sihi­vektori teine koordinaat on null, siis on see sirge risti y-teljega.

Vastus. Sirge s võrrandid on

\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{0}=\frac{z-5}{2}   ja   x=2+3ty=-1z=5+2t.

Sirge s on risti y-teljega.

Näide 2.

Koostame punkte A(2; –3; 4) ja B(4; 5; –1) läbiva sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid.

Sirge AB sihi­vektor \vec{s}=\overrightarrow{AB}=\left(2;\ 8;\ -5\right). Võtame nüüd sirgel punkti A (kas võiksime võtta ka punkti B?) ja kirjutame välja sirge kanoonilised ning parameetrilised võrrandid:

\frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{8}=\frac{z-4}{-5}   ja   x=2+2ty=-3+8tz=4-5t.

Vastus. Sirge võrrandid on \frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{8}=\frac{z-4}{-5} ja x=2+2ty=-3+8tz=4-5t.

Näide 3.

Leiame sirge \frac{x+1}{1}=\frac{y-6}{-2}=\frac{z-4}{-2} lõike­punktid koordinaat­tasanditega ja skitseerime sirge koordinaat­teljestikus.

Leiame kõige­pealt antud sirge ja xy-tasandi lõike­punkti. Et sellel tasandil on iga punkti aplikaat null (z = 0), siis

\frac{x+1}{1}=\frac{y-6}{-2}=\frac{0-4}{-2}=2.

Seega \frac{x+1}{1}=2 ja \frac{y-6}{-2}=2, millest x = 1 ja y = 2.

Analoogiliselt leiame, et antud sirge lõike­punktid xz- ja yz-tasandiga on vastavalt (2; 0; –2) ja (0; 4; 2).

Saadud lõike­punktide järgi skitseerime sirge (joon. 2.56).

Joon. 2.56

Vastus. Sirge lõike­punktid xy-, xz- ja yz-tasandiga on vastavalt (1; 2; 0), (2; 0; –2) ja (0; 4; 2).

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 574. Kas punkt asub sirgel?

A(–7; –5; 8); \frac{x-3}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-3}

Vastus. Punkt A  antud sirgel.

A(2; 3; –1); \frac{x-7}{5}=\frac{y}{-3}=\frac{z-4}{5}

Vastus. Punkt A  antud sirgel.

A(2; –1; –1); \frac{x-1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{3}

Vastus. Punkt A  antud sirgel.

A(1; –3; 0); x=2-ty=-3+2tz=-3t

Vastus. Punkt A  antud sirgel.

A(1; –3; 0); x=1-ty=-3+2tz=-3t

Vastus. Punkt A  antud sirgel.

Ülesanne 575. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid

A(3; 5; 2); \vec{s}=\left(2;\ -1;\ 3\right)

Vastus. Sirge kanoonilised võrrandid on  ja parameetrilised võrrandid on x=y=z=.

A(–3; 4; –2); \vec{s}=\left(-1;\ 3;\ 5\right)

Vastus. Sirge kanoonilised võrrandid on  ja parameetrilised võrrandid on x=y=z=.

A(2; –1; 4); \vec{s}=\left(0;\ -1;\ 2\right)

Vastus. Sirge kanoonilised võrrandid on  ja parameetrilised võrrandid on x=y=z=.

A(0; 4; –3); \vec{s}=\left(0;\ 0;\ -2\right)

Vastus. Sirge kanoonilised võrrandid on  ja parameetrilised võrrandid on x=y=z=.

Ülesanne 576. Sirge kanoonilised võrrandid

A(1; 3; –5), B(3; –2; 1)

Vastus. 

A(2; 3; –1), B(2; 1; 4)

Vastus. 

A(1; 1; –1), B(1; 1; 3)

Vastus. 

Ülesanne 577. Sirge sihi­vektor ja kaks punkti

\frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-1}{-1}

Vastus. \vec{s} = ,

A, B

x+2=\frac{y+2}{3}=\frac{z+21}{0,5}

Vastus. \vec{s} = ,

A, B

\frac{2-x}{-3}=\frac{0,5-y}{4}=z

Vastus. \vec{s} = ,

A, B

2x=5-y=\frac{z+3}{4}

Vastus. \vec{s} = ,

A, B

x=2-3ty=1+2tz=-3-5t

Vastus. \vec{s} = ,

A, B

x=12-ty=-3+2tz=-2t

Vastus. \vec{s} = ,

A, B

x=4y=5-4tz=2+t

Vastus. \vec{s} = ,

A, B

x=-3y=2z=5t

Vastus. \vec{s} = ,

A, B

Ülesanne 578. Sirge kanoonilised võrrandid

x+y=\frac{y-2}{0}=\frac{z+3}{4}

Vastus. Sirge kanoonilised võrrandid on .

Kirjeldus: 

\frac{x-3}{4}=y=\frac{z-4}{0}

Vastus. Sirge kanoonilised võrrandid on .

Kirjeldus: 

Ülesanne 579. Sirge parameetrilised võrrandid

Vastus. Selle sirge parameetrilised võrrandid on x=y=z=.

Ülesanne 580. Sirge asend koordinaat­teljestikus

x=\frac{y}{0}=\frac{z}{0}

\frac{x}{0}=y=z

x=ty=tx=3

x=3y=tx=-2

Ülesanne 581. Sirge asend koordinaat­teljestikus

Ülesanne 582. Koordinaat­telgede kanoonilised võrrandid

Vastus. x-telje kanoonilised võrrandid on , y-telje kanoonilised võrrandid on  ja z-telje kanoonilised võrrandid on .

Ülesanne 583. Sirge lõike­punktid koordinaattasanditega

\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-1}

Vastus. Selle sirge lõike­punkt xy-tasandiga on , xz-tasandiga on  ja yz-tasandiga on .

\frac{x+1}{-1}=\frac{y+2}{3}=z-1

Vastus. Selle sirge lõike­punkt xy-tasandiga on , xz-tasandiga on  ja yz-tasandiga on .

x=1-2ty=tz=2-t

Vastus. Selle sirge lõike­punkt xy-tasandiga on , xz-tasandiga on  ja yz-tasandiga on .

x=-2+ty=3tz=2t-2

Vastus. Selle sirge lõike­punkt xy-tasandiga on , xz-tasandiga on  ja yz-tasandiga on .

Ülesanne 584. Sirge kanoonilised võrrandid
Joon. 2.57

Vastus. Sirge k: , sirge l: , sirge m: , sirge n: .

Ülesanne 585. Lõikude pikkused ja kesk­punktide koordinaadid

Sirge on antud oma parameetriliste võrranditega x=3+ty=5+2tz=1+4t. Võrratused 0 ≤ t ≤ 1 ja 2 ≤ t ≤ 5 määravad sellel sirgel kaks lõiku. Leidke nende lõikude pikkused ja kesk­punktide koordinaadid.

Vastus. Esimese lõigu pikkus on  ja selle lõigu kesk­punkti koordinaadid on . Teise lõigu pikkus on  ja selle lõigu kesk­punkti koordinaadid on .

Ülesanne 586. Sirge parameetrilised võrrandid
  1. Leidke punkte A(1; 2; 3) ja B(4; 6; 8) läbiva sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid, valides sirget määravaks punktiks A.
    Vastus. Selle sirge kanoonilised võrrandid on  ja parameetrilised võrrandid on x=y=z=.
  2. Millise parameetri t väärtuse korral saame sirge parameetrilistest võrranditest punkti A koordinaadid?Vastus. Kui t = .
  3. Millise parameetri t väärtuse korral saame sirge parameetrilistest võrranditest punkti B koordinaadid?
    Vastus. Kui t = .
  4. Leidke punktide A' ja A'' koordinaadid, kui need punktid on saadud sirge parameetrilistest võrranditest vastavalt parameetri väärtustele t = 2 ja t = –1.
    Vastus. A'; A''
  5. Leidke lõikude AB, AA' ja AA'' pikkused. Mis selgub?
    Vastus. AB = ; AA' = ; AA'' = . Selgub, et 
  6. Millise parameetri t väärtuse korral saaksime lõigu AB kesk­punkti koordinaadid?
    Vastus. Kui t = 
  7. Võrrelge parameetriliste võrranditega antud sirget arv­teljega. Kus asub sellisel sirgel arv­telje null­punkt ja arv 1?
Seotud sisu
Muud tegevused